Cómo interpretar un enunciado de geometría

[crimeeee]

Desde que empecé hace un tiempo a estudiar geometría para olimpíadas, tengo la siguiente duda:

-En los problemas geométricos, ¿está correcto demostrar el recíproco?

Con esto me refiero a lo siguiente (pongo un ejemplo para que entiendan lo que quiero decir):

-Demuestra que si en un cuadrilátero la suma de los cuadrados de los lados opuestos son iguales, entonces sus diagonales son perpendiculares.

¿Se podría resolver de la siguiente manera? Sea ABCD el cuadrilátero. Supongamos que AC y BD (sus diagonales) son perpendiculares y se intersectan en un punto E. Luego por pitágoras . De la misma manera, . Por lo que se tiene: .

Es decir yo dí por hecho que las diagonales son perpendiculares para demostrar que se cumple la condición. El problema pide al revés, por eso le digo recíproco.

Mi duda no es con este problema en particular (lo puse a modo de ejemplo) sino con todos aquellos que se puedan resolver de la misma manera.

[el_manco]

Hola

 No es correcto. Con un razonamiento análogo podría probarse lo siguiente (que es obviamente falso):

 Si en un cuadrilátero las diagonales son perpendiculares, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

 Tomamos un cuadrado y vemos que sus diagonales son perpendiculares. Por tanto la proposición inicial es verdadera. 

Saludos.

[crimeeee]

Gracias manco por la ayuda, pero me parece que me expliqué mal, porque en tu ejemplo la afirmación no es verdadera, yo estoy preguntando en problemas donde te pide demostrar ( es decir ya sabés que es verdadero), como mi ejemplo. La verdad que no sé cómo explicar bien lo que quiero, me parece que voy a tener que poner más ejemplos. ¿De paso, la resolución de mi ejemplo está correcta?

[el_manco]

Hola

Gracias manco por la ayuda, pero me parece que me expliqué mal, porque en tu ejemplo la afirmación no es verdadera

¡Claro!, es que escogí así el ejemplo deliberadamente. Lo que quiero hacerte notar es que tu método no es correcto porque permite dar por demostradas proposiciones que son ciertas, pero también proposiciones que son falsas.

Desde el punto de vista lógico en lugar estás probando que , lo cuál es incorrecto.

La resolución de tu ejercicio no es correcta. Lo que puedes hacer, siguiendo tu misma idea, es en lugar de usar el teorema de Pitágoras usar su versión más general, es decir, el teorema del coseno.

Saludos.

[crimeeee]

Muchas gracias.

[crimeeee]

Perdón que retome el tema, pero me gustaría que me dieras tu opinión sobre este caso:

-Dos circunferencias se intersectan en los puntos y . Una recta arbitraria pasa por y corta por segunda vez la primera circunferencia en el punto y a la segunda, en el punto . Las tangentes a la primera circunferencia en y a la segunda en se cortan en el punto . Por el punto de intersección de y pasa una recta paralela a , que corta en el punto . Demuestra que es tangente a la segunda circunferencia.

La solución se encuentra en el libro Problemas de geometría y planimetría de Shariguin. Así que es "oficial". Acá la adjunto.

Como podrás observar la solución demuestra el recíproco. Entonces, a pesar de estar mal demostrar el recíproco, ¿puedo hacer eso en una olimpíada?. Muchas gracias.

[el_manco]

Hola

 No prueba el recíproco. La clave está, si quieres, en justificar con más detalle la afirmación:

 "es evidente que la afirmación del problema es equivalente a la afirmación de que ."

 Llamemos (allí lo llama pero yo le llamaré para distinguirlo al principio de l punto del enunciado) al punto que construye en la solución como ; observa que lo que nos piden probar es que . Pero:



Saludos.

[crimeeee]

Ahora sí ya entiendo la diferencia. Muchas gracias por las respuestas. Saludos.