Modos normales

[ramuntxo]

Hola a todos les pido ayuda con el análisis de fuerza en el siguiente sistema para poder luego calcular los modos normales (sé calcular los modos normales pero necesito las fuerzas del sistema para poder hacerlo), les pido ayuda en ello, gracias.


Ejercicio: Calcule los modos normales para la configuración general del siguiente sistema.(adjunté la imagen) (esto ya sé hacerlo pero necesito las fuerzas para empezar y otra cosa que no dibujé es que el ángulo que se forma con la verticar es .

¡Gracias!

[Jabato]

Admitiendo que sea el desplazamiento horizontal del péndulo y su desplazamiento angular, ambos positivos hacia la derecha según la figura y negativos en sentido contrario, entonces las fuerzas que actúan sobre el péndulo son las siguientes:

1ª).-  Su propio peso, dirigido según la vertical, hacia bajo, y de valor

2ª).- Los dos resortes, ambos con la misma constante, tienden a empujar el péndulo a su posición de equilibrio, de manera que la fuerza resultante dependerá de cuales sean sus elongaciones y de la orientación de cada uno. Dichas fuerzas pueden calcularse en función de la geometría del sistema aunque es algo complicado y omito aquí su cálculo. Si quieres luego te echo una mano. Llamemos a la fuerza resultante de ambos resortes

3ª).-  La reacción del péndulo, paralela al tirante que sostiene el péndulo. Esta fuerza debería compensar siempre la componente radial de las otras. De manera que nos bastará para resolver el problema considerar solo las componentes tangenciales (perpendiculares al tirante del péndulo) de las otras fuerzas porque la componente radial de la resultante de todas las fuerzas debería anularse.

Solo tienes que calcular dichas componentes tangenciales y aplicar las leyes de Newton. ¿Fácil, no?

NOTA: Se da además una circunstancia especial, si pudiera considerarse que las oscilaciones del péndulo fueran muy pequeñas entonces el cálculo se simplificaría considerablemente al poder estimar que los desplazamientos, , son proprcionales a las oscilaciones, , y además que la reacción de los resortes es horizontal, aunque esa circunstancia no la has expuesto en el enunciado y no se si es válido aplicar tal consideración. Es algo parecido a lo que ocurre en el análisis clásico del péndulo simple.

¿Te ha servido de ayuda?

Saludos, Jabato.

[ramuntxo]

Admitiendo que sea el desplazamiento horizontal del péndulo y su desplazamiento angular, ambos positivos hacia la derecha según la figura y negativos en sentido contrario, entonces las fuerzas que actúan sobre el péndulo son las siguientes:

1ª).-  Su propio peso, dirigido según la vertical, hacia bajo, y de valor

2ª).- Los dos resortes, ambos con la misma constante, tienden a empujar el péndulo a su posición de equilibrio, de manera que la fuerza resultante dependerá de cuales sean sus elongaciones y de la orientación de cada uno. Dichas fuerzas pueden calcularse en función de la geometría del sistema aunque es algo complicado y omito aquí su cálculo. Si quieres luego te echo una mano. Llamemos a la fuerza resultante de ambos resortes

3ª).-  La reacción del péndulo, paralela al tirante que sostiene el péndulo. Esta fuerza debería compensar siempre la componente radial de las otras. De manera que nos bastará para resolver el problema considerar solo las componentes tangenciales (perpendiculares al tirante del péndulo) de las otras fuerzas porque la componente radial de la resultante de todas las fuerzas debería anularse.

Solo tienes que calcular dichas componentes tangenciales y aplicar las leyes de Newton. ¿Fácil, no?

NOTA: Se da además una circunstancia especial, si pudiera considerarse que las oscilaciones del péndulo fueran muy pequeñas entonces el cálculo se simplificaría considerablemente al poder estimar que los desplazamientos, , son proprcionales a las oscilaciones, , y además que la reacción de los resortes es horizontal, aunque esa circunstancia no la has expuesto en el enunciado y no se si es válido aplicar tal consideración. Es algo parecido a lo que ocurre en el análisis clásico del péndulo simple.

¿Te ha servido de ayuda?

Saludos, Jabato.

Muchas gracias por su ayuda, pero mi duda es precisamente en el punto 2 que usted me ha dado, que son las fuerzas sobre la masa que cuelga del péndulo que provocan el movimiento, aún no entiendo cómo obtener las fuerzas elásticas sobre los resortes para poner igualarlas a la masa por aceleración y encontrar los modos normales, le agradecería su ayuda en ello, muchas gracias por la paciencia. Saludos.

[ramuntxo]

Admitiendo que sea el desplazamiento horizontal del péndulo y su desplazamiento angular, ambos positivos hacia la derecha según la figura y negativos en sentido contrario, entonces las fuerzas que actúan sobre el péndulo son las siguientes:

1ª).-  Su propio peso, dirigido según la vertical, hacia bajo, y de valor

2ª).- Los dos resortes, ambos con la misma constante, tienden a empujar el péndulo a su posición de equilibrio, de manera que la fuerza resultante dependerá de cuales sean sus elongaciones y de la orientación de cada uno. Dichas fuerzas pueden calcularse en función de la geometría del sistema aunque es algo complicado y omito aquí su cálculo. Si quieres luego te echo una mano. Llamemos a la fuerza resultante de ambos resortes

3ª).-  La reacción del péndulo, paralela al tirante que sostiene el péndulo. Esta fuerza debería compensar siempre la componente radial de las otras. De manera que nos bastará para resolver el problema considerar solo las componentes tangenciales (perpendiculares al tirante del péndulo) de las otras fuerzas porque la componente radial de la resultante de todas las fuerzas debería anularse.

Solo tienes que calcular dichas componentes tangenciales y aplicar las leyes de Newton. ¿Fácil, no?

NOTA: Se da además una circunstancia especial, si pudiera considerarse que las oscilaciones del péndulo fueran muy pequeñas entonces el cálculo se simplificaría considerablemente al poder estimar que los desplazamientos, , son proprcionales a las oscilaciones, , y además que la reacción de los resortes es horizontal, aunque esa circunstancia no la has expuesto en el enunciado y no se si es válido aplicar tal consideración. Es algo parecido a lo que ocurre en el análisis clásico del péndulo simple.

¿Te ha servido de ayuda?

Saludos, Jabato.

¡¡¡Ayuda porfavor!!

[Jabato]

Es que si no podemos admitir que las oscilaciones son pequeñas el problema se complica bastante. Intentaré darte una idea de como hacerlo pero solo haré eso, los cálculos deberás hacerlos tu.

Sabemos que un resorte tiene dos propiedades muy importantes que lo caracterizan:

1ª). - La dirección de la fuerza con que actúa un resorte es paralela al eje del propio resorte, cualquiera que sea su posición.

2ª).- Su valor es proporcional a su elongación, pudiendo ser ésta positiva ó negativa dependiendo de si el resorte resulta estirado ó comprimido.

Bien ahora debes calcular la fuerza de ambos resortes suponiendo una posición arbitraria del péndulo, definida por el valor de

El problema no es complicado, se puede hacer, pero es muy laborioso y es probable que se llegue a unas ecuaciones bastantes difíciles de resolver si es que pueden resolverse. No esperes que yo me entretenga en hacer eso porque no lo haré, mi tiempo vale dinero, además eres tú el que debe resolverlo. Dime si hay algo que no entiendes y con gusto te lo explico, pero no esperes que haga yo ese desarrollo matemático.

¿Estás seguro que no puede suponerse que las oscilaciones son muy pequeñas? Eso simplificaría mucho los cálculos.

Además no queda muy claro en la figura que nos adjuntas cuales son los dimensiones geométricas del sistema, ¿a que distancia horizontal y vertical están los anclajes de los resortes respecto del centro de giro del péndulo?

Saludos, Jabato.

[ramuntxo]

Es que si no podemos admitir que las oscilaciones son pequeñas el problema se complica bastante. Intentaré darte una idea de como hacerlo pero solo haré eso, los cálculos deberás hacerlos tu.

Sabemos que un resorte tiene dos propiedades muy importantes que lo caracterizan:

1ª). - La dirección de la fuerza con que actúa un resorte es paralela al eje del propio resorte, cualquiera que sea su posición.

2ª).- Su valor es proporcional a su elongación, pudiendo ser ésta positiva ó negativa dependiendo de si el resorte resulta estirado ó comprimido.

Bien ahora debes calcular la fuerza de ambos resortes suponiendo una posición arbitraria del péndulo, definida por el valor de

El problema no es complicado, se puede hacer, pero es muy laborioso y es probable que se llegue a unas ecuaciones bastantes difíciles de resolver si es que pueden resolverse. No esperes que yo me entretenga en hacer eso porque no lo haré, mi tiempo vale dinero, además eres tú el que debe resolverlo. Dime si hay algo que no entiendes y con gusto te lo explico, pero no esperes que haga yo ese desarrollo matemático.

¿Estás seguro que no puede suponerse que las oscilaciones son muy pequeñas? Eso simplificaría mucho los cálculos.

Además no queda muy claro en la figura que nos adjuntas cuales son los dimensiones geométricas del sistema, ¿a que distancia horizontal y vertical están los anclajes de los resortes respecto del centro de giro del péndulo?

Saludos, Jabato.

Jabato me dí cuenta que el dibujo estaba todo desconfigurado, disculpas, el ángulo que forma el péndulo con la posición de equilibrio es y además es pequeño la distancia desde el quilibrio del péndulo hasta donde estan unidos los resortes es el largo de la cuerda del péndulo de masa despreciable es y las constantes de ambos resortes son .

He llegado a que para ángulos pequeños la ecuación de posición en un péndulo simple sin los resortitos es:
de aquí se tiene pero ahora nosé como aplicar esto a mi ejercicio para sacar modos normales pido ayuda porfavor, muchas gracias.

No es mi interés obtener el desarrollo, eso sé hacerlo el problema que tengo es como dije encontrar la ecuación de movimiento para la masa m con los dos muelles,  saludos .

[Jabato]

Bueno, eso cambia bastante todo el planteamiento porque si las desviaciones que describe el péndulo respecto de la posición de equilibrio son pequeñas entonces podemos hacer algunas aproximaciones que nos van a resultar en un problema facilmente resoluble:

1ª Aproximación: los desplazamientos descritos por el péndulo valen por la archiconocida propiedad de la equivalencia entre una cuerda y su arco cuando éste es muy pequeño. Es la misma aproximación que se realiza en la resolución del problema del péndulo simple, cuya solución conduce y da origen al estudio del M.A.S.

2ª Aproximación: Análogamente pueden despreciarse los desplazamientos verticales de la masa del péndulo (son mucho más pequeños que los desplazamientos horizontales) y suponer que éste se desplaza solo en sentido horizontal por lo que puede considerase que la fuerza ejercida por los resortes es siempre horizontal y de valor

En estas condiciones el problema es resoluble puesto que ahora solo debemos encontrar el momento total de las acciones aplicadas y de y aplicar las leyes simples de la dinámica de rotación de una masa puntual.

Ambos casos, analizados por separado, generarían un M.A.S. siempre que se acepten como válidas las aproximaciones realizadas (en otro caso creo que la resolución conduciría a una ecuación diferencial resoluble solo por métodos aproximados). La resolución del problema analizando las acciones de forma conjunta conducirá también a un movimiento del mismo tipo aunque lógicamente con parámetros distintos (distinta amplitud, distinta frecuencia, etc.). Es un problema de composición de movimientos armónicos que, si no me falla la memoria, deberías tener resuelto en tu libro ó apuntes.

¿Sabes seguir? La aplicación de dichas leyes nos va a conducir a una EDO de segundo orden que debería poder resolverse facilmente si efectivamente su solución es un M.A.S.

NOTA: Las siglas M.A.S. significan "movimiento armónico simple".

Saludos, Jabato.

[ramuntxo]

Bueno, eso cambia bastante todo el planteamiento porque si las desviaciones que describe el péndulo respecto de la posición de equilibrio son pequeñas entonces podemos hacer algunas aproximaciones que nos van a resultar en un problema facilmente resoluble:

1ª Aproximación: los desplazamientos descritos por el péndulo valen por la archiconocida propiedad de la equivalencia entre una cuerda y su arco cuando éste es muy pequeño. Es la misma aproximación que se realiza en la resolución del problema del péndulo simple, cuya solución conduce y da origen al estudio del M.A.S.

2ª Aproximación: Análogamente pueden despreciarse los desplazamientos verticales de la masa del péndulo (son mucho más pequeños que los desplazamientos horizontales) y suponer que éste se desplaza solo en sentido horizontal por lo que puede considerase que la fuerza ejercida por los resortes es siempre horizontal y de valor

En estas condiciones el problema es resoluble puesto que ahora solo debemos encontrar el momento total de las acciones aplicadas y de y aplicar las leyes simples de la dinámica de rotación de una masa puntual.

Ambos casos, analizados por separado, generarían un M.A.S. siempre que se acepten como válidas las aproximaciones realizadas (en otro caso creo que la resolución conduciría a una ecuación diferencial resoluble solo por métodos aproximados). La resolución del problema analizando las acciones de forma conjunta conducirá también a un movimiento del mismo tipo aunque lógicamente con parámetros distintos (distinta amplitud, distinta frecuencia, etc.). Es un problema de composición de movimientos armónicos que, si no me falla la memoria, deberías tener resuelto en tu libro ó apuntes.

¿Sabes seguir? La aplicación de dichas leyes nos va a conducir a una EDO de segundo orden que debería poder resolverse facilmente si efectivamente su solución es un M.A.S.

NOTA: Las siglas M.A.S. significan "movimiento armónico simple".

Saludos, Jabato.

Muchas gracias Jabato