Cómo estudiar E. Algebraicas

[IMedge]

Hola a todos.

Estoy empezando a estudiar la asignatura que trata sobre estructuras algebraicas. He empezado con la teoría de los temas que están en el programa de la asignatura, pero no consigo afianzar los conceptos y me cuesta muchísimo llevar la teoría a los ejercicios.

El programa de la asignatura es: Propiedades básicas de los anillos, anillos factoriales, anillos de polinomios, elementos basicos de los grupos, homomorfismos de grupos y grupos de permutaciones.

Mi pregunta es, si hay alguna manera adecuada de abordar esta asignatura para comprenderla y realmente entender los conceptos que se exponen. Mi idea era estudiar la teoría y después aplicar los conceptos a los ejercicios, pero se me hace tan difícil comprender la teoría que llego a pensar incluso que no la estoy estudiando bien, y ya hacer ejercicios que no sean básicos es casi imposible.

Espero que puedan guiarme, pues me gustaría entender esta asignatura.

Gracias a todos por dedicar su tiempo, espero que puedan contestarme,
un saludo.

[Fernando Revilla]

Bienvenido al foro.

Mi idea era estudiar la teoría y después aplicar los conceptos a los ejercicios,

Es razonable.

pero se me hace tan difícil comprender la teoría que llego a pensar incluso que no la estoy estudiando bien, y ya hacer ejercicios que no sean básicos es casi imposible.

Bien, puedes ir planteando las dudas concretas. Es lo mejor

[IMedge]

Gracias por responder tan rápido Fernando Revilla.

Voy a seguir tu consejo y voy a ir planteando las dudas a medida que me vayan surgiendo, a ver si así consigo entender los conceptos, e intentar aplicarlos al máximo número de ejemplos posibles para tener más dónde apoyarme. Expondré una pequeña duda.

En mis apuntes vienen algunos ejemplos, expondré dos para que se vea mi problema.

- Si es un anillo, el cociente es

- Si , entonces es isomorfo a

Se supone que éstos ejemplos son básicos... pero soy incapaz de demostrarlos a partir de las nocienes que tengo que anillo, ideal y clases de equivalencias. 

[Fernando Revilla]

- Si , entonces es isomorfo a

Vamos primero con este. Los elementos de son de la forma con . Efectuando la división euclídea de entre obtenemos . Como tenemos que es decir, todo elemento de tiene un representante de la forma .

Ahora define . Intenta demostrar que es isomorfismo de cuerpos. Muestra algo de trabajo.

[Carlos Ivorra]

Hola. La forma de resolver el problema es la que te indica Fernando, pero, a la hora de entender lo que pasa, tal vez te ayude esta observación, que no ayuda mucho a obtener una prueba rigurosa:

Cuando formas un anillo cociente, un espacio vectorial cociente o un lo-que-sea cociente, obtienes una estructura como la del "numerador", pero en la que todo lo que hay en el "denominador" se ha convertido en cero.

Por ejemplo, los elementos de son polinomios con indeterminadas e , pero al formar el cociente tienes un anillo de polinomios con indeterminadas e en los que , y eso no son sino los polinomios con indeterminada .

Similarmente, es el anillo de los polinomios con coeficientes reales, y el cociente de tu problema es un anillo de polinomios con coeficientes reales en el que , es decir, en el que la indeterminada cumple que , con lo que se comporta como la unidad imaginaria.

Por eso, en estos "polinomios" podemos eliminar todos los cambiándolos por , los cambiándolos por , los cambiándolos por , y así sucesivamente, luego todos estos "polinomios" pueden escribirse como , donde . Por eso, si cambias por tienes un isomorfismo en el cuerpo de los números complejos.

Insisto en que así no obtendrás una prueba rigurosa (para eso haz caso a Fernando), pero razonando así podrías haber predicho a qué era isomorfo cada uno de los espacios cociente que te han dado aunque el enunciado no te lo hubiera dicho ya.

Por ejemplo, ¿podrías predecir (informalmente, sin una prueba rigurosa) a qué será isomorfo el cociente ? Luego, por supuesto, puedes buscar una prueba rigurosa, pero es importante ser capaz de hacer conjeturas razonables antes de buscar pruebas.

[IMedge]

Gracias Fernado Revilla y Carlos Ivorra.

Una vez que he visto como se ha operado con los elementos del cociente me ha sido mucho más fácil entender cómo funcionan. No me terminaba de quedar claro qué significaba el anillo cociente hasta que has visto que has operado de esa forma. Probar que es inyectiva es inmediato porque, igualando las imagenes de dos elementos mediante , obtengo que los representantes son iguales y que, por tanto, son iguales. La sobreyectividad también la he obtenido muy rápido.

Carlos Ivorra. Me parece increible el recurso que me has mostrado para entender la isomorfía entre cuerpos conocidos. Es precisamente a lo que me refería cuando preguntaba sobre cómo se estudiaba esta rama de las matemáticas. Por ningún lado aparece como hacer conjeturas, y eso me frustraba bastante, porque realmente no entendía lo que estaba haciendo. Este tipo de cosas es lo que creo que es entender las matemáticas 

Con respecto al cociente que me has dado, la primera idea intuitiva que se me ocurre, tal y como me lo has explicado, ¿podría ser que fuese isomorfo a ?

[Carlos Ivorra]

Con respecto al cociente que me has dado, la primera idea intuitiva que se me ocurre, tal y como me lo has explicado, ¿podría ser que fuese isomorfo a ?

Sí, pero queda más claro si lo dejas en , es decir, te queda el anillo de polinomios con coeficientes en el cuerpo de cinco elementos.

[lindtaylor]

Carlos Ivorra, y eso como te diste cuenta? ya que estoy seguro que en muchas partes más de la matemática hay trucos para conjeturar muchas más cosas. Habrá libros, apuntes o algo que den esos tips o es sólo la experiencia propia?

[Carlos Ivorra]

Carlos Ivorra, y eso como te diste cuenta? ya que estoy seguro que en muchas partes más de la matemática hay trucos para conjeturar muchas más cosas. Habrá libros, apuntes o algo que den esos tips o es sólo la experiencia propia?

Pues no sabría decirte. He intentado recordar cómo y cuándo aprendí yo estas cosas, pero hace ya muchos años y no lo recuerdo. Son cosas que a menudo no se detallan en los libros porque no son rigurosas y cuesta mucho más explicarlas por escrito que delante de una pizarra o de un papel.