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Sea $\zeta = e^{2i\pi / 5}$ . Consideremos $\alpha \in{\mathbb{Z}} [ \zeta ]$ , es decir, $\alpha$ es de la forma $a_0+a_1\zeta + a _ 2 \zeta ^2 + a_ 3 \zeta ^3$ con $a_1,a_2,a_3,a_4\in{\mathbb{Z}}$ .

Se quiere demostrar que la norma de $\alpha$ , $N(\alpha)$ es de la forma $\dfrac 14 (a^2-5b^2)$ para algunos $a,b\in{\mathbb{Z}}$ . La norma se define como el producto de los cuatro conjugados de $\alpha$ .

Los conjugados no son muy difíciles de calcular:

$\alpha _ 1 = \alpha$
$\alpha _ 2 = a_0 + a_1\zeta ^2 + a_2\zeta ^ 4 + a_2 \zeta$
$\alpha _ 3 = a_0+a_1\zeta ^3 + a_2\zeta + a_3\zeta ^4$
$\alpha _ 4 = a_0+a_1\zeta ^4+a_2\zeta ^3 + a_ 3 \zeta ^2$

Tengo la siguiente sugerencia: demuestre que $\alpha _ 1 \cdot \alpha _ 4$ es de la forma $q+r\phi + s\theta$ donde $\phi = \zeta ^ 2+ \zeta ^3$ y $\theta = \zeta + \zeta ^4$ , y $\alpha _ 2 \cdot \alpha _ 3 = q+r\theta + s\phi$ .

En efecto, hice las cuentas y se obtiene lo deseado para

.

Entonces la norma queda $(q+r\phi + s\theta)(q+r\theta + s\phi)$ . Pero de aquí no veo cómo maniobrar para llegar a algo de la forma $\dfrac 14 (a^2-5b^2)$ .

¿Alguna idea?

Gracias

	Autor	Tema: Campos ciclotómicos (Leído 68 veces)
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