¿Existe una medida invariante bajo isometrías directas?

[Sailor Starruler]

¿Quién dice que el modelo sea transitivo?

[Carlos Ivorra]

¿Quién dice que el modelo sea transitivo?

Tú decías:

Dudo mucho que haya un algoritmo que en el modelo numerable de ZFC nos permitiera esos cálculos aproximados. Asi que esos modelos "metamatemáticamente manejables" por ser numerables no son tan útiles en la práctica ( por eso no los usamos) ¿o no es así?

Y yo te he respondido que en muchos modelos numerables de ZFC (en los transitivos y, más en general, en los bien fundados, porque son isomorfos a modelos transitivos) no hay ningún problema en operar con números reales de la forma usual.

Por otro lado, no está claro qué hay que entender por "por eso no los usamos". Cuando uno hace matemáticas en ZFC no "usa" ningún modelo en particular y todo cuanto demuestra vale para todos los modelos posibles de ZFC.  No tiene sentido decir en este contexto que un modelo numerable sea más o menos útil en la práctica. A la hora de obtener pruebas de consistencia, que es cuando es necesario usar modelos, entonces los modelos numerables son muy útiles en la práctica (aunque no son la única posibilidad, por supuesto).

[Sailor Starruler]

Vale, metamatemáticamente será dudoso trabajar en modelos no numerables de la teoría de conjuntos, pero entonces, cuando yo escribo que es simplemente que donde y  y por ejemplo, incluso para saber si un determinado indice de un conjunto representa a un número real ( el conjunto me refiero)

[Carlos Ivorra]

Hola. He unido el nuevo tema que habías creado al antiguo porque es imposible que cualquiera que lo leyera entendiera nada sin saber de dónde venía. Como cada uno estaba en un foro distinto, los he puesto en el de lógica, porque, aunque empezó en geometría, parece que ha terminado convirtiéndose en una cuestión de lógica y teoría de conjuntos.

Vale, metamatemáticamente será dudoso trabajar en modelos no numerables de la teoría de conjuntos,

Yo no he dicho eso. Por ejemplo, la clase de los conjuntos constructibles es un modelo muy importante y muy útil y no es numerable, sino que es una clase propia. Sólo he dicho que los modelos numerables son muy útiles (pero no los únicos útiles).

pero entonces, cuando yo escribo que es simplemente que donde y  y etc....¿no? Entonces , ¿qué problema hay en manejar expresiones numéricas?

No sé muy bien a qué te refieres. No hay ningún problema en manejar expresiones numéricas. Si te refieres a lo que decía yo antes de que no creo que la idea de "la totalidad de los numeros reales" tenga significado alguno más allá del formalismo matemático, el problema es que esas expresiones numéricas dependen de sucesiones de cifras que en principio son arbitrarias, y no creo que exista nada objetivo a lo que podamos llamar "la totalidad de las sucesiones arbitrarias de cifras". El problema no está en cómo asignar un número a cada sucesión de decimales, ahí todo está claro. El problema es cuántas sucesiones de decimales existen. Más precisamente, el problema está en si tiene sentido hablar de todas las sucesiones de decimales.

En cambio, esos sistemas numerables tan aparentemente manejables, tienen una fórmula para la suma de dos reales y por ejemplo,

La suma de números reales se define mediante una fórmula en ZFC, y eso es una característica de ZFC, que por consiguiente es válida para todos sus modelos.

incluso para saber si un determinado indice de un conjunto representa a un número real ( el conjunto me refiero)

No sé si te entiendo: imagino que te refieres a que si tienes un modelo de la forma , si es posible encontrar una fórmula de modo que si y sólo si .

Pues hasta eso podría ser cierto. Por ejemplo, podrías arreglar la numeración de M de modo que sus números reales fueran precisamente los objetos de índice par, y entonces la fórmula que pides sería simplemente la que dice que n es un número par, pero lo que no podrías conseguir en ningún caso es una fórmula tal que si y sólo si .

[Sailor Starruler]

el problema está en si tiene sentido hablar de todas las sucesiones de decimales.

Yo creo que sí. Y es básicamente porque yo sí creo que tiene que haber un modelo con TODOS los números reales, pero por una razón muy empírica, y no matemática en el sentido más puro. Necesitamos que una recta ( una linea unidimensional en general) sea infinita y sin huecos. Es verdad que podría ser que nuestro espacio físico fuera incluso finito no ya en sus límites en el sentido de que se cierra sobre sí mismo, sino finito en lo pequeño, cuantizado. Nosotros vemos ( por lo menos cuando observamos una pantalla ) con nuestros ojos imagenes cuantizadas tanto en el espacio como en el tiempo, y si la cuantización tiene la suficiente resolución, nos parece un continuo, tanto el tiempo como el espacio ( en el caso del tiempo ya quedo claro con la propia invención del cine hace un siglo). Pero lo cierto es que la percepción de 3 dimensiones en nuestro universo por todos nosotros tampoco hace nada facil una explicación satisfactoria con un espacio finito (tampoco la no observación de cuantización por ejemplo en los valores de velocidades), y aún así nos queda una posible infinitud en los valores de las magnitudes en esos puntos (o de los valores de la probabilidad) (aunque tengo serias dudas de la interpretación frecuentista de la probabilidad en espacios de probabilidad no finitos al menos)

Otra cosa es cuál es el modelo adecuado y cómo podemos extender la teoría de conjuntos hacia ese modelo adecuado (aún sabiendo por el teorema de incompletitud) que la extensión nunca va a ser completa. Me rayaba muchísimo el hecho que dado cualquier modelo siempre hubiera un modelo dónde los reales tuvieran una mayor cardinalidad. Pero claro, también se puede decir que esa mayor cardinalidad es consecuencia de la "desaparición en el modelo" de determinadas biyecciones ( que me temo que por la cardinalidad de funciones de conjuntos en otros van a tener que ser en muchos casos no definibles).

Siquiera sé hasta qué punto  este último párrafo es formalizable en el lenguaje de teoría de conjuntos ,dudo hasta de cómo se expresa en lenguaje formal que algo es "no definible", puedes decir que un objeto no es el único que no verifica una fórmula determinada, que tampoco es el único que verifica otra formula, y así hasta cualquier número finito de ellas pero no sé cómo se puede ir más allá y decir que no verifican ninguna en exclusiva (cuando digo que verifica me refiero a que en un modelo determinado una fórmula se haga verdadera al cambiar una variable por la constante que representa al objeto)

[Carlos Ivorra]

el problema está en si tiene sentido hablar de todas las sucesiones de decimales.

Yo creo que sí. Y es básicamente porque yo sí creo que tiene que haber un modelo con TODOS los números reales,

Lo uno es equivalente a lo otro.

pero por una razón muy empírica, y no matemática en el sentido más puro. Necesitamos que una recta ( una linea unidimensional en general) sea infinita y sin huecos.

¿Por qué lo necesitamos?

Es verdad que podría ser que nuestro espacio físico fuera incluso finito no ya en sus límites en el sentido de que se cierra sobre sí mismo, sino finito en lo pequeño, cuantizado.

Nosotros vemos ( por lo menos cuando observamos una pantalla ) con nuestros ojos imagenes cuantizadas tanto en el espacio como en el tiempo, y si la cuantización tiene la suficiente resolución, nos parece un continuo, tanto el tiempo como el espacio ( en el caso del tiempo ya quedo claro con la propia invención del cine hace un siglo).

Entonces admites que la necesidad no procede de la física.

Pero lo cierto es que la percepción de 3 dimensiones en nuestro universo por todos nosotros tampoco hace nada facil una explicación satisfactoria con un espacio finito

Si te refieres  a un espacio compacto, no veo por qué, una variedad diferencial puede ser tridimensional y localmente euclídea independientemente de cuál sea su geometría global. No hay contradicción alguna en ver localmente un espacio tridimensional euclídeo y que globalmente sea no euclídeo.

(tampoco la no observación de cuantización por ejemplo en los valores de velocidades), y aún así nos queda una posible infinitud en los valores de las magnitudes en esos puntos (o de los valores de la probabilidad) (aunque tengo serias dudas de la interpretación frecuentista de la probabilidad en espacios de probabilidad no finitos al menos)

Aquí me pierto, pero no veo argumento alguno por el que dices que necesitamos rectas sin huecos.

Otra cosa es cuál es el modelo adecuado y cómo podemos extender la teoría de conjuntos hacia ese modelo adecuado

¿Adecuado para qué? ¿Para la física? No sé si te sigo.

(aún sabiendo por el teorema de incompletitud) que la extensión nunca va a ser completa. Me rayaba muchísimo el hecho que dado cualquier modelo siempre hubiera un modelo dónde los reales tuvieran una mayor cardinalidad. Pero claro, también se puede decir que esa mayor cardinalidad es consecuencia de la "desaparición en el modelo" de determinadas biyecciones ( que me temo que por la cardinalidad de funciones de conjuntos en otros van a tener que ser en muchos casos no definibles).

Sigo sin ver qué tiene que ver esto con que tenga sentido o no hablar de la totalidad de las sucesiones de cifras o la totalidad de los números reales.

Siquiera sé hasta qué punto  este último párrafo es formalizable en el lenguaje de teoría de conjuntos ,dudo hasta de cómo se expresa en lenguaje formal que algo es "no definible", puedes decir que un objeto no es el único que no verifica una fórmula determinada, que tampoco es el único que verifica otra formula, y así hasta cualquier número finito de ellas pero no sé cómo se puede ir más allá y decir que no verifican ninguna en exclusiva (cuando digo que verifica me refiero a que en un modelo determinado una fórmula se haga verdadera al cambiar una variable por la constante que representa al objeto)

Insisto: ¿por qué dices que es necesario que exista la totalidad de los números reales? No encuentro argumento alguno con el que pueda coincidir o discrepar.

[Sailor Starruler]

No hay contradicción alguna en ver localmente un espacio tridimensional euclídeo y que globalmente sea no euclídeo.

Desde luego que no, es el caso de la Relatividad General, una vez fijada la coordenada temporal (que no es ninguna trivialidad) , el espacio es localmente euclideo.

...pero no veo argumento alguno por el que dices que necesitamos rectas sin huecos.

Para poder parametrizar todos los puntos, no digo que se pueda, digo que sería deseable para tener una teoría global lo más precisa posible.

Esto no lo entiendo. En principio, aunque muchas cuestiones relacionadas con la teoría de la medida (sobre existencia de medidas, o sobre la posibilidad de extenderlar) dependen de la existencia o no existencia de cardinales medibles, no veo por qué tendría que haber ninguna diferencia entre trabajar en NFA o en ZFC. No sé a qué postulados te refieres.

El problema que veo en la "no identificación" empieza ya con las propias definiciones de cardinales y ordinales en ZFC y NFA, que no son las mismas. El hecho de que haya un gran cardinal en el modelo de ZFC no significa lo mismo que en NFA porque ningun conjunto de ZFC y NFA en principio se puede identificar. Aunque quizá haya un cardinal grande de NFA tb, en el sentido que tu dices, que la existencia de ese conjunto garantiza la consistencia de los axiomas, en este caso de NFA, o mejor , de NFA+AE+AC.

No sé si se llama cardinal medible precisamente al que garantiza que haya una medida para los subconjuntos definibles de [tex] Algo parecido pasa con el Analisis Real, yo tengo el axioma del supremo:" todo conjunto de reales tiene una cota superior mínima". Los conjuntos definibles, en el caso de ZFC por ser subclase de un conjunto, y en el de NFA por ser fuertemente cantoriano, tienen una identificación simple, pero con los no definibles, no sé hasta qué punto se puede hacer una identificación que nos garantice que la palabra "conjunto" del axioma del supremo sea el mismo, y no vaya a haber un teorema del analisis, en el sentido de que sólo hable de reales y conjuntos de reales, que sea distinto en ambas teorías.

Insisto: ¿por qué dices que es necesario que exista la totalidad de los números reales? No encuentro argumento alguno con el que pueda coincidir o discrepar.

Lo que vengo a decir es que una vez fijado un modelo en el que los números reales nos parametricen los conjuntos tridimensionales ( no sé si en el sentido de dimensión de Hausdorff o en cuál) mejor que lineas (esto lo he cambiado dado que en una descripción cuántica del universo no es necesario tener trayectorias como lineas, sino más bien volumenes en los que poder tener o cual probabilidad de tener tantas partículas de un tipo [por ejepmplo, fotones], tantas de otro,etc.)...en estos modelos con justamente esos reales debería haber uno "maximal" para esos conjuntos tridimensionales.

[Carlos Ivorra]

...pero no veo argumento alguno por el que dices que necesitamos rectas sin huecos.

Para poder parametrizar todos los puntos, no digo que se pueda, digo que sería deseable para tener una teoría global lo más precisa posible.

Bueno, aquí presupones que el concepto de "punto del espacio" tiene una realidad física objetiva. Eso es muy cuestionable, puesto que el principio de incertidumbre impide hablar de la posición exacta de un objeto. Una teoría que postula puntos matemáticos para describir el espacio nunca será una teoría físicamente exacta, del mismo modo que la mecánica newtoniana que postulaba un espacio absoluto como sistema de referencia no puede serlo. Otra cosa es que puedas describir muy cómodamente el mundo hasta cierto punto postulando un espacio absoluto, pero si quieres una teoría que se ajuste lo más posible a la realidad lo que tendrás que hacer es eliminar ese espacio absoluto de la teoría e, igualmente, si quieres una teoría que se ajuste lo más posible a la realidad, tendrás que eliminar de ella el concepto de punto matemático, por muy cómodo que resulte.

Si te esfuerzas por incluir en tu teoría "la totalidad de los puntos", cuanto más te esfuerces en esa dirección, más alejada estará tu teoría de la realidad física.

Esto no lo entiendo. En principio, aunque muchas cuestiones relacionadas con la teoría de la medida (sobre existencia de medidas, o sobre la posibilidad de extenderlar) dependen de la existencia o no existencia de cardinales medibles, no veo por qué tendría que haber ninguna diferencia entre trabajar en NFA o en ZFC. No sé a qué postulados te refieres.

El problema que veo en la "no identificación" empieza ya con las propias definiciones de cardinales y ordinales en ZFC y NFA, que no son las mismas. El hecho de que haya un gran cardinal en el modelo de ZFC no significa lo mismo que en NFA porque ningun conjunto de ZFC y NFA en principio se puede identificar.

Pero, argumentando así, igualmente puedes afirmar que si tienes dos modelos distintos de ZFC o dos modelos distintos de NFA no es posible, salvo casos triviales, identificar los conjuntos de uno con los conjuntos de otro, luego tu problema no es que ZFC y NFA sean distintos, sino que dos modelos cualesquiera (salvo casos no triviales) de una misma teoría son distintos (y sus elementos no son identificables en modo alguno).

Aunque quizá haya un cardinal grande de NFA tb, en el sentido que tu dices, que la existencia de ese conjunto garantiza la consistencia de los axiomas, en este caso de NFA, o mejor , de NFA+AE+AC.

No sé si se llama cardinal medible precisamente al que garantiza que haya una medida para los subconjuntos definibles de

Parece que se ha perdido alguna fórmula. Los cardinales medibles se llaman así porque implican la existencia de una medida sobre todos los subconjuntos de y, más aún, puedes exigir que dicha medida extienda a la medida de Lebesgue, es decir, que los conjuntos medibles Lebesgue tengan la misma medida respecto a la medida de Lebesgue y a la medida inducida por el cardinal medible.

Algo parecido pasa con el Analisis Real, yo tengo el axioma del supremo:" todo conjunto de reales tiene una cota superior mínima". Los conjuntos definibles, en el caso de ZFC por ser subclase de un conjunto, y en el de NFA por ser fuertemente cantoriano, tienen una identificación simple, pero con los no definibles, no sé hasta qué punto se puede hacer una identificación que nos garantice que la palabra "conjunto" del axioma del supremo sea el mismo, y no vaya a haber un teorema del analisis, en el sentido de que sólo hable de reales y conjuntos de reales, que sea distinto en ambas teorías.

Me pierdo. Como ya te digo, si tienes dos modelos distintos de ZFC, no tienes ningún criterio para identificar los subconjuntos de de uno con los del otro. Incluso, aunque puedas identificar el intervalo de un modelo con el intervalo del otro modelo, serán conjuntos que pueden tener hasta distinto cardinal. Los dos conjuntos tienen la misma definición (son el conjunto de los números reales comprendidos entre 0 y 1), pero pueden tener propiedades distintas. Por ejemplo, uno puede contener números reales no constructibles (en el sentido de Gödel) y el otro no, etc. Para encontrarte con este fenómeno no necesitas comparar un modelo de ZFC con otro de NFA, sino que lo mismo pasa con dos modelos de ZFC.

Insisto: ¿por qué dices que es necesario que exista la totalidad de los números reales? No encuentro argumento alguno con el que pueda coincidir o discrepar.

Lo que vengo a decir es que una vez fijado un modelo en el que los números reales nos parametricen los conjuntos tridimensionales ( no sé si en el sentido de dimensión de Hausdorff o en cuál) mejor que lineas (esto lo he cambiado dado que en una descripción cuántica del universo no es necesario tener trayectorias como lineas, sino más bien volumenes en los que poder tener o cual probabilidad de tener tantas partículas de un tipo [por ejepmplo, fotones], tantas de otro,etc.)...en estos modelos con justamente esos reales debería haber uno "maximal" para esos conjuntos tridimensionales.

No te entiendo. En todo modelo de ZFC los números reales (del modelo) parametrizan los conjuntos tridimensionales (del modelo). ¿Qué quieres decir con "justamente esos reales"? En ese sentido, todo modelo tiene "los números reales justos".

[Sailor Starruler]

Bueno, aquí presupones que el concepto de "punto del espacio" tiene una realidad física objetiva. Eso es muy cuestionable, puesto que el principio de incertidumbre impide hablar de la posición exacta de un objeto.

Efectivamente, un estado cuántico en el que cualquier sistema tenga un objeto con una posición en un punto determinado provocaría una incertidumbre en el momento lineal hamiltoniano, y en "la parte mecánica del momento lineal" que es una función de la velocidad ( a veces se confunden ambos momentos porque en situaciones no relativistas pueden coincidir sus valores, pero aquí no es relevante esa distinción ), con lo cual al final resultaría en una incertidumbre infinita de la velocidad, que daría una evolución del sistema en un tiempo tan pequeño como quisieramos a un estado que podría ser absolutamente cualquiera que uno se pudiera imaginar ( esto no es muy conveniente "permitirlo" ) En este párrafo "infinito" hay que entenderlo todo el rato como el cierre de únicamente.

Pero la visión de la teoría cuántica de campos ( que es a grandes rasgos la consideración de los efectos de la relatividad especial, y la cuántica) es que en los puntos del espacio hay campos, que pueden tener valores determinados, o al menos una cierta distribución de probabilidad para cada campo,que nos describe un posible intervalo de valores (no independientes los de un punto con los de otro en principio) en el supuesto de que estos fueran medidos, o bien haciendo otro tipo de medida, la presencia de determinado número de párticulas de un cierto tipo en un cierto volumen, de otro cierto tipo en otro, etc....

No es la visión definitiva, porque el espacio es el de la relatividad especial, , con una métrica pseudoeuclidea, y no el de la general, que sólo tiene esas características a nivel local ( es un espacio pseudométrico de Riemann), pero (al menos hasta dónde yo conozco) sí se considera  ( un espacio de Riemann equivalente a este a nivel local) cuyos puntos "existen".

Pero, argumentando así, igualmente puedes afirmar que si tienes dos modelos distintos de ZFC o dos modelos distintos de NFA no es posible, salvo casos triviales, identificar los conjuntos de uno con los conjuntos de otro, luego tu problema no es que ZFC y NFA sean distintos, sino que dos modelos cualesquiera (salvo casos no triviales) de una misma teoría son distintos (y sus elementos no son identificables en modo alguno).

No, si yo no quiero argumentar así en absoluto, pero hay que dejar bien claro, por ejemplo es la gran intersección de todos los conjuntos inductivos, parece ser que hay modelos de ZFC en las que no existe, "la gran intersección de todos los conjuntos inductivos" se puede escribir en el lenguaje formal. Incluso aunque la descripción del objeto no se pueda formalizar, si dejamos clara la definición, y sólo hay un objeto que la cumple en ambos modelos, yo creo que se puede decir hasta cierto punto que son el mismo, y si en uno de los modelos es una descripción impropia y en otro no, y se puede demostrar que no hay un objeto que satisfaga la definición, en el modelo donde no hay objeto que la satisfaga podemos decir que el objeto no existe. Incluso aquí veo  hasta conveniente el tener una descripcióm impropia, pues si en un modelo un objeto A satisface la definición y en otro son varios los que la satisfacen, no creo que tenga mucho sentido discutir cuál es "el auténtico" A en el modelo dónde varios la satisfacen.


Por último, creo que los cardinales medibles son grandes cardinales en ZFC, ¿ocurre lo mismo en NFA+AE+AC?

[Carlos Ivorra]

No es la visión definitiva, porque el espacio es el de la relatividad especial, , con una métrica pseudoeuclidea, y no el de la general, que sólo tiene esas características a nivel local ( es un espacio pseudométrico de Riemann), pero (al menos hasta dónde yo conozco) sí se considera  ( un espacio de Riemann equivalente a este a nivel local) cuyos puntos "existen".

No es lo mismo que una teoría use puntos que el hecho de que dichos puntos tengan una existencia física. La mecánica newtoniada describe muy bien el mundo que nos rodea y, aunque se puede evitar, lo más natural es presentarla suponiendo un espacio absoluto, lo cual no significa que el espacio absoluto tenga realidad física.

Fíjate que del hecho de que una teoría física use números nadie en su sano juicio deduciría que los números son objetos físicos existentes. Los números complejos son útiles para describir las corrientes eléctricas, y nadie supone que por un circuito eléctrico circulan unidades imaginarias.

Pero, argumentando así, igualmente puedes afirmar que si tienes dos modelos distintos de ZFC o dos modelos distintos de NFA no es posible, salvo casos triviales, identificar los conjuntos de uno con los conjuntos de otro, luego tu problema no es que ZFC y NFA sean distintos, sino que dos modelos cualesquiera (salvo casos no triviales) de una misma teoría son distintos (y sus elementos no son identificables en modo alguno).

No, si yo no quiero argumentar así en absoluto, pero hay que dejar bien claro, por ejemplo es la gran intersección de todos los conjuntos inductivos, parece ser que hay modelos de ZFC en las que no existe, "la gran intersección de todos los conjuntos inductivos" se puede escribir en el lenguaje formal.

No te sigo. La existencia de la intersección de todos los conjuntos inductivos es un teorema de ZFC, y en consecuencia es cierta en todos los modelos de ZFC.

Incluso aunque la descripción del objeto no se pueda formalizar, si dejamos clara la definición, y sólo hay un objeto que la cumple en ambos modelos, yo creo que se puede decir hasta cierto punto que son el mismo,

Hasta cierto punto muy débil. El ejemplo que pones es bueno: la definición de determina un conjunto en todo modelo de ZFC, pero puedes tener dos modelos de ZFC tales que el objeto que cumple dicha definición en uno es muy distinto del objeto que cumple dicha definición en el otro. Ambos son la intersección de todos los conjuntos inductivos, pero uno puede contener números no estándar y el otro no. Serán el mismo, pero no se parecen en mucho.

y si en uno de los modelos es una descripción impropia y en otro no, y se puede demostrar que no hay un objeto que satisfaga la definición, en el modelo donde no hay objeto que la satisfaga podemos decir que el objeto no existe. Incluso aquí veo  hasta conveniente el tener una descripcióm impropia, pues si en un modelo un objeto A satisface la definición y en otro son varios los que la satisfacen, no creo que tenga mucho sentido discutir cuál es "el auténtico" A en el modelo dónde varios la satisfacen.

No sé en qué ejemplos estás pensando. Los objetos que se definen usualmente en matemáticas vienen avalados por una prueba de unicidad. Lo que dices puede pasar, pero no con las definiciones usuales de los objetos matemáticos usuales.

Por último, creo que los cardinales medibles son grandes cardinales en ZFC, ¿ocurre lo mismo en NFA+AE+AC?

No he estudiado el asunto con detalle, y tal vez algo se me escape, pero en principio no se me ocurre qué argumento sobre cardinales medibles válido en ZFC pudiera dejar de serlo en NFA.

[Sailor Starruler]

 

No es lo mismo que una teoría use puntos que el hecho de que dichos puntos tengan una existencia física. La mecánica newtoniada describe muy bien el mundo que nos rodea y, aunque se puede evitar, lo más natural es presentarla suponiendo un espacio absoluto, lo cual no significa que el espacio absoluto tenga realidad física.

Pero escapar de un espacio absoluto es facil ( exigiendo invariancia a las ecuaciones bajo una colección determinada de transformaciones) ,de los números reales algo más complicado (siquiera sé si se ha hecho).

La existencia de la intersección de todos los conjuntos inductivos es un teorema de ZFC, y en consecuencia es cierta en todos los modelos de ZFC.

Lo de la existencia de en todos los modelos de ZFC, pensaba erróneamente que no era así. Me extrañaba, porque he visto el axioma del infinito presentado como la existencia de al menos un conjunto inductivo en alguna parte, noción corregida.

[Sailor Starruler]

Insisto: ¿por qué dices que es necesario que exista la totalidad de los números reales? No encuentro argumento alguno con el que pueda coincidir o discrepar.

Bueno, más bien, lo que ha de existir, es, en alguno modelo de , es, una noción máximal de todos los subconjuntos de  , en el sentido, que en ese modelo adecuado, no puedas coger otro modelo con los mismo reales, pero con más conjuntos. Vamos, que los subconjuntos de puntos en el espacio físico real, si deberían tener una noción absoluta.  Todo esto viene de la noción intuitiva de que una linea se puede parametrizar. Es verdad que la noción física de trayectoria de una particula se abandonó hace tiempo, pero la probabilidad  ( nº real) de estar en un determinado volumen en , con la métrica que sea, si se considera en la física cuantica, así que al menos algunos volumenes definibles si deberían ser parametrizables.
 

[Carlos Ivorra]

Bueno, más bien, lo que ha de existir, es, en alguno modelo de , es, una noción máximal de todos los subconjuntos de  , en el sentido, que en ese modelo adecuado, no puedas coger otro modelo con los mismo reales, pero con más conjuntos.

Eso no puede demostrarse. Dentro de un modelo numerable de ZFC no existe ningún modelo de ZFC (numerable o no) con esa propiedad y, como existen modelos numerables de ZFC, eso prueba que no es posible demostrar lo que pides.

Vamos, que los subconjuntos de puntos en el espacio físico real, si deberían tener una noción absoluta.  Todo esto viene de la noción intuitiva de que una linea se puede parametrizar. Es verdad que la noción física de trayectoria de una particula se abandonó hace tiempo, pero la probabilidad  ( nº real) de estar en un determinado volumen en , con la métrica que sea, si se considera en la física cuantica, así que al menos algunos volumenes definibles si deberían ser parametrizables.

Como ya te digo, dudo mucho que el hecho de que puedas hablar de probabilidades y éstas sean números reales permita concluir que los puntos deban tener existencia física, pero, en cualquier caso, tú pretendes que haya una biyección entre los conjuntos de puntos "físicos" y los conjuntos de puntos en un modelo de ZFC, lo cual no parece muy razonable, pues eso significaría que, por ejemplo, los conjuntos no medibles Lebesgue (más concretamente, los conjuntos que permiten la descomposición de Banach-Tarski de una esfera en dos esferas) tendrían existencia física.

[Sailor Starruler]

Pues es verdad. Lo que no sé es si hay paradoja de Banach Tarski en espacio riemannianos en general. Pero de haberla, desde luego, tendrémos que limitar los conjuntos a un algebra de las bolas tridimensionales ( los ejes de coordenadas son ficticios y lo único que podemos medir son distancias), incluso creo que ha de ser algo más restringido puesto que las simetrías "de espejo" no se dan a nivel cuántico)en . Sin embargo, hay bolas no definibles (de hecho, todas son no definibles con probabilidad 1), pero creo que no hay modelos donde estén todas estas bolas, porque para que esté la bola, ha de estar su punto medio, y todos los reales son punto medio de alguna bola en , tengamos la métrica que tengamos.

Entonces tampoco es tan problemático ( simplemente es curioso) que no haya un modelo natural A de ZFC con todos los números reales, es decir, que en realidad para cualquier modelo A haya un modelo natural B con más reales, es decir, un modelo B en el que ,con una relación de pertenencia considerada en B que coincida para los conjuntos comunes a A y B

[Carlos Ivorra]

Pues es verdad. Lo que no sé es si hay paradoja de Banach Tarski en espacio riemannianos en general.

La paradoja de Banach-Tarski es sólo una forma vistosa de presentar la existencia de conjuntos no medibles. Lo único relevante es que para cualquier medida definida en cualquier variedad de Riemann que cumpla unos requisitos mínimos para que pueda considerarse realmente una medida de "volumen" (por ejemplo, que los puntos tengan medida nula) existirán conjuntos no medibles.

Pero de haberla, desde luego, tendrémos que limitar los conjuntos a un algebra de las bolas tridimensionales ( los ejes de coordenadas son ficticios y lo único que podemos medir son distancias), incluso creo que ha de ser algo más restringido puesto que las simetrías "de espejo" no se dan a nivel cuántico)en . Sin embargo, hay bolas no definibles (de hecho, todas son no definibles con probabilidad 1), pero creo que no hay modelos donde estén todas estas bolas, porque para que esté la bola, ha de estar su punto medio, y todos los reales son punto medio de alguna bola en , tengamos la métrica que tengamos.

Tal vez no interpreto bien tus palabras, pero de ellas parece desprenderse que piensas que "existen todas las bolas" pero que no caben todas en un mismo modelo. Mi opinión es que hay distintos modelos, cada cual con sus bolas, y no hay nada a lo que llamar "todas las bolas" si no es en relación a un modelo.

Entonces tampoco es tan problemático ( simplemente es curioso) que no haya un modelo natural A de ZFC con todos los números reales, es decir, que en realidad para cualquier modelo A haya un modelo natural B con más reales, es decir, un modelo B en el que ,con una relación de pertenencia considerada en B que coincida para los conjuntos comunes a A y B

En efecto, no creo que haya nada de problemático en ello.

[Sailor Starruler]

Bueno, una pequeña aclaración, sobre algo que he meditado tras el post anterior:analizandolo un poco más, al fin y al cabo se toma una cantidad de referencia y todo se mide en relación a esa referencia (elección de unidades), y a eso es a lo que llamamos medir una magnitud, sean distancias o cualquier magnitud real,  y el número que nos relaciona unas unidades con otras es posiblemente un real definible, así que con considerar sólo bolas de radio definible, creo que resulta suficiente para ciencias experimentales, y esas imagino estan disponibles en cualquier modelo, a raiz de comentarios de post anteriores

[Carlos Ivorra]

Ciertamente, aunque la verdad es que una medida física no te puede dar nada más que un número racional y un margen de error, también racional.

[Sailor Starruler]

Ciertamente, aunque la verdad es que una medida física no te puede dar nada más que un número racional y un margen de error, también racional.

Totalmente de acuerdo al hacer una medida, pero me desdigo del anterior post (mirar el párrafo siguiente). Una medida más un error es equivalente a acotar la medida en un intervalo entre racionales, tal como dice Carlos ( aun suponiendo que nuestra unidad de medida esté definida objetivamente sin error, que no es cierto, si bien a efectos prácticos si lo es pues el error relativo es menor que 0,00.....1, con muchos ceros, pero no vamos a entrar en cuestiones físicas en esta sección).

Pero antes de hacer la medida, no hay razón física para suponer que su intervalo de incertidumbre tenga límites irracionales , incluso indefinibles ( tampoco vamos a entrar en teniendo una distribución estadística, qué estimador es mejor para el error: desviación típica, entropia de Shannon, etc...) : una vez definido un conjunto de reales en un modelo ( que según yo creo, han de parametrizar los puntos de la recta), aún suponiendo que haya otro modelo con esos mismos reales pero con más conjuntos de reales, los intervalos abiertos y cerrados son los mismos en cualquier modelo de todos esos, aunque algunos no sean definibles ( los que tienen alguno de los extremos en un real no definible) , por lo que el hecho de que hubiera otro modelo para esos reales con más conjuntos, tampoco es problemático para la Física.