¿Existe una medida invariante bajo isometrías directas?

[Sailor Starruler]

¿Existe una medida invariante bajo isometrías ? Si es así, cual es el conjunto "máximo", es decir, que no hay otro superconjunto propio del conjunto en el que estemos trabajando en el que se pueda definir manteniendo todas sus características. Me refiero a espacios métricos en general .

¿Y si nos restringismos a conjuntos dónde sólo se exija la invariancia bajo isometrías directas (aquellas que se pueden generar mediante una "composición de simetrias infinitesimales") En el caso de me refiero a las matrices de determinante +1 , pero ya digo que estoy hablando de espacios métricos en general, el caso lo ponho sólo a modo ilustrativo.

Me refiero a NFA, ¿sería algo distinto el tratamiento en ZFC? Lo digo porque obviamente todos los postulados excepto el del supremo son indénticos, en este último dónde está la diferencia pues es el único que habla de conjuntos? Imagino que no porqe aunque NFA no tiene modelos tan grandes de subsconjuntos de NFA si NFA fuera consistente en FA y no en NFU los modelos de NFA serían todos los conjuntos de números reales. Este último parrafo está planteado desde un punto de vista platonista, en el sentido de que creo que las rectas existen y son parametrizables por funciones de    en NFA con la métrica adecuada, claro

[Carlos Ivorra]

¿Existe una medida invariante bajo isometrías ? Si es así, cual es el conjunto "máximo", es decir, que no hay otro superconjunto propio del conjunto en el que estemos trabajando en el que se pueda definir manteniendo todas sus características. Me refiero a espacios métricos en general .

Pues no lo sé, pero me parece una pregunta demasiado general. Espacios métricos los hay de todas las formas, tamaños y colores, y hay espacios métricos con muchas isometrías y espacios con muy pocas. Dudo mucho que puda realizarse una construcción genérica de una medida como la que pides. Ahora, no puedo asegurar nada a ciencia cierta. Incluso en el caso de la medida de Lebesgue en , no sé si sería fácil determinar el máximo conjunto al que se puede extender sin perder la invarianza por isometrías.

¿Y si nos restringismos a conjuntos dónde sólo se exija la invariancia bajo isometrías directas (aquellas que se pueden generar mediante una "composición de simetrias infinitesimales") En el caso de me refiero a las matrices de determinante +1 , pero ya digo que estoy hablando de espacios métricos en general, el caso lo ponho sólo a modo ilustrativo.

  Pues no creo que eso simplifique mucho el problema.

Me refiero a NFA, ¿sería algo distinto el tratamiento en ZFC? Lo digo porque obviamente todos los postulados excepto el del supremo son indénticos, en este último dónde está la diferencia pues es el único que habla de conjuntos? Imagino que no porqe aunque NFA no tiene modelos tan grandes de subsconjuntos de NFA si NFA fuera consistente en FA y no en NFU los modelos de NFA serían todos los conjuntos de números reales. Este último parrafo está planteado desde un punto de vista platonista, en el sentido de que creo que las rectas existen y son parametrizables por funciones de    en NFA con la métrica adecuada, claro

Esto no lo entiendo. En principio, aunque muchas cuestiones relacionadas con la teoría de la medida (sobre existencia de medidas, o sobre la posibilidad de extenderlar) dependen de la existencia o no existencia de cardinales medibles, no veo por qué tendría que haber ninguna diferencia entre trabajar en NFA o en ZFC. No sé a qué postulados te refieres.

[Sailor Starruler]

Bueno, por lo que he leido, la existencia de medida de lebesgue para conjuntos definibles depende de la existencia de un cardinal grande ( aunque no ´se muy bien que se entiende exactamente por eso, no sé si es un cardinal de la lista de los , aunque me imagino que ese cardinal vendrá definido en el apartado del libro de Holmes, o en el tuyo, la verdad que debería hechar un vistazo a ambos, porque ni siquiera sé si los cardinales de cada uno son "idénticos" en algún cierto sentido, prefiero guiarme por el de Holmes, por ser en NFA (al menos que tengas pensado  dedicar en algún árticulo de la revista algo sobre el tema de transfinitos), Holmes se expresa en un lenguaje semiformal y aparente más sencillo pero luego a la hora de la verdad es un tanto espeso ( a mi modo de ver, claro, es sólo una opinión), nunca conseguí entender qué era el operador T hasta tu explicación  cuando es una cosa bastante simple de entender creo yo.

En realidad mis pretensiones no van tan lejos, se trata simplemente de que cualquier conjunto razonable sea medible, y si hay alguna manera de extender la medida de lebesgue no ya para dimensiones no e naturales ( como hace la medida de Hausdorff) sino si al menos para dimensiones naturales pero inferiores a la de la dimensión n de , por ejemplo, la medida de un volumen o de una linea, sin recurrir a la derivada como concepto propio ( me resulta al mí al menos poco elegante recurrir como axioma a la versión infinitisemal del teorema de pitágoras)

Lo que pasa es que no veo como dar una definición precisa a un conjunto "geometricamente" aceptable. Por ejemplo: los intervalos en , abiertos y son definibles, y conceptualmente entendemos perfectamente la diferencia entre que un intervalo esté abierto o cerrado por un extremo, pero en el momento que queremos visualizar el intervalo abierto o cerrado correspondiente, geométricamente queda muy lejos de ser definible. Afortunadamente, da igual, en un experimento real la probabilidad de que una párticula  este justo en ese punto, es un suceso "imposible", aunque forme parte de nuestro espacio probabilístico de sucesos, pero forma parte porque no hay ningún entorno lo suficientemente pequeño alrededor de ese punto (salvo el de radio 0 ) que podamos descartar como resultado de una medida.

[Carlos Ivorra]

Bueno, por lo que he leido, la existencia de medida de lebesgue para conjuntos definibles depende de la existencia de un cardinal grande ( aunque no ´se muy bien que se entiende exactamente por eso, no sé si es un cardinal de la lista de los ,

Un cardinal grande (en ZFC) es un cardinal tal que, si existe, a partir de él se puede construir un modelo de  ZFC. Los menores cardinales grandes son los cardinales débilmente inaccesibles, que son los cardinales que cumplen tres propiedades:

1)

2) es un cardinal límite (es decir, no tiene un inmediato anterior)

3) es regular (la unión de menos de conjuntos de cardinal menor que tiene cardinal menor que .

(Nota que cumple las condiciones 2) y 3).)

Con el axioma de elección todo cardinal infinito es un , y los cardinales grandes no son (no pueden ser) una excepción. Ahora bien, si es un cardinal grande (entendido como un ordinal de von Neumann) cumple que , con lo que la función álef no ayuda en mucho a la hora de hacerse una idea sobre cómo es de grande.

Por encima de los cardinales débilmente inaccesibles hay toda una gran familia de cardinales grandes: cardinales fuertemente inaccesible, cardinales débilmente compactos, de Ramsey, medibles, compactos, supercompactos, enormes, etc.

La relación entre los cardinales grandes y la medida de Lebesgue es muy delicada. En cuanto a consistencia, Solovay demostró que basta suponer que es consistente la existencia de un cardinal débilmente inaccesible para que sea consistente que todo conjunto definible a partir de sucesiones de ordinales (en particular todo conjunto proyectivo, que es un concepto bastante general de conjunto definible) sea medible Lebesgue. Más aún, bajo esa hipótesis incluso es consistente la negación del axioma de elección junto con que todo subconjunto de (y por tanto de ) sea medible Lebesgue.

Otra cosa es demostrar, no ya que existe un modelo donde todos los conjuntos proyectivos son medibles Lebesgue, sino que todos los conjuntos proyectivos son medibles Lebesgue (sin modelos de por medio). Para probar eso hace falta suponer mucho más que la existencia de un cardinal débilmente inaccesible. Hace falta suponer que existen infinitos cardinales de Woodin y un cardinal medible mayor que todos ellos.

aunque me imagino que ese cardinal vendrá definido en el apartado del libro de Holmes,

Que yo haya leído, Holmes se limita a probar que ciertos axiomas que extienden NFA son equivalentes a la existencia de ciertos cardinales grandes, y no llega a dar la prueba completa. Creo que en su libro no llega más allá de demostrar que uno de esos axiomas implica la existencia de un cardinal inaccesible.

o en el tuyo, la verdad que debería hechar un vistazo a ambos, porque ni siquiera sé si los cardinales de cada uno son "idénticos" en algún cierto sentido, prefiero guiarme por el de Holmes, por ser en NFA (al menos que tengas pensado  dedicar en algún árticulo de la revista algo sobre el tema de transfinitos),

Bueno, mi idea era dar por acabado el tema de NFA. Ya he cumplido lo que tenía previsto: he expuesto la axiomática y he esbozado en la medida de lo posible, sin entrar en tecnicismos que obligarían a dar un curso previo de teoría de modelos, cómo se construyen modelos de NFA en ZFC.

Aún no he acabado de estudiar la relación entre modelos de ZFC y NFA, porque me he liado con otra cosa, pero, aunque todavía no puedo afirmarlo con seguridad y precisión, creo que, esencialmente, los cardinales de NFA son un segmento de los cardinales de un modelo de ZFC.

Holmes se expresa en un lenguaje semiformal y aparente más sencillo pero luego a la hora de la verdad es un tanto espeso ( a mi modo de ver, claro, es sólo una opinión), nunca conseguí entender qué era el operador T hasta tu explicación  cuando es una cosa bastante simple de entender creo yo.

Holmes es uno de los pocos autores que, al leerlos, me paso la mayor parte del tiempo, no tratando de entender por qué es cierto lo que dice, sino qué c_ _ _ está diciendo.

En realidad mis pretensiones no van tan lejos, se trata simplemente de que cualquier conjunto razonable sea medible, y si hay alguna manera de extender la medida de lebesgue no ya para dimensiones no e naturales ( como hace la medida de Hausdorff) sino si al menos para dimensiones naturales pero inferiores a la de la dimensión n de , por ejemplo, la medida de un volumen o de una linea, sin recurrir a la derivada como concepto propio ( me resulta al mí al menos poco elegante recurrir como axioma a la versión infinitisemal del teorema de pitágoras)

Aquí no sé si te sigo. La medida de Lebesgue se puede transportar a cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre y de aquí a cualquier subvariedad diferencial de .

Lo que pasa es que no veo como dar una definición precisa a un conjunto "geometricamente" aceptable. Por ejemplo: los intervalos en , abiertos y son definibles, y conceptualmente entendemos perfectamente la diferencia entre que un intervalo esté abierto o cerrado por un extremo, pero en el momento que queremos visualizar el intervalo abierto o cerrado correspondiente, geométricamente queda muy lejos de ser definible.

Aquí ya no te sigo en absoluto.

[Sailor Starruler]

En realidad mis pretensiones no van tan lejos, se trata simplemente de que cualquier conjunto razonable sea medible, y si hay alguna manera de extender la medida de lebesgue no ya para dimensiones no e naturales ( como hace la medida de Hausdorff) sino si al menos para dimensiones naturales pero inferiores a la de la dimensión n de [ \mathbb{R}^n ] , por ejemplo, la medida de un volumen o de una linea, sin recurrir a la derivada como concepto propio ( me resulta al mí al menos poco elegante recurrir como axioma a la versión infinitisemal del teorema de pitágoras)

Aquí no sé si te sigo. La medida de Lebesgue se puede transportar a cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre y de aquí a cualquier subvariedad diferencial de ^TEX] [\mathbb{R}^n] . [/TEX]

La medida de Lebesgue se puede transportar a cualquier espacio vectorial de dimensión finita ( aunque se puede construir un espacio afín "de puntos" a través de un espacio vectorial, me gusta más pensar  en un espacio métrico entendido como un conjunto de "puntos" en los que se define una métrica con las características propias de las métricas ( semidefinidas positivas, estricta para la distancia de un punto a él mismo, desigualdad triangular). Pongamonos por simplicidad en , una curva en ese espacio tiene una distancia dada por la métrica del subespacio al que pertenece pero también tiene una métrica distinta vista como curva dentro del espacio (ESTA CURVA SEA COMO SEA NUNCA PODRÁ SER UNA RECTA CON LA MÉTRICA EUCLIDEA DE

[Carlos Ivorra]

La medida de Lebesgue se puede transportar a cualquier espacio vectorial de dimensión finita ( aunque se puede construir un espacio afín "de puntos" a través de un espacio vectorial, me gusta más pensar  en un espacio métrico entendido como un conjunto de "puntos" en los que se define una métrica con las características propias de las métricas ( semidefinidas positivas, estricta para la distancia de un punto a él mismo, desigualdad triangular). Pongamonos por simplicidad en , una curva en ese espacio tiene una distancia dada por la métrica del subespacio al que pertenece pero también tiene una métrica distinta vista como curva dentro del espacio (ESTA CURVA SEA COMO SEA NUNCA PODRÁ SER UNA RECTA CON LA MÉTRICA EUCLIDEA DE

No sé qué quieres decir con esto. Si la curva no se corta a sí misma, con la distancia heredada del plano será isométrica a una recta (considerando en ésta también la distancia que hereda del plano).

[Sailor Starruler]

Bueno, a lo mejor me he ido a un caso demasiado simple. Una esfera en  con la métrica  de nunca va a poder ser una figura en un plano euclideo con la métrica de , sino podríamos emular cualquier espacio euclideo de n dimensiones en una dimensiñon sólo y el concepto de dimensiñon perdería su razón de  ser. Es necesario recurrir a medidas más sosfisticadas (Medida de Hausdorff, etc), que no conozco en detalle, aunque me gustaría para tener una visión global del problema de la medida. Por otra parte, que ha ya conjuntos no medibles tampoco es algo como para "quitarnos el sueño", que un conjunto no definible no lo sea pues tampoco me parece un hecho significativo. Lo que si sería interesante plantear es que conjuntos podemos considerar razonablemente que representan figuras geométricas. Lo dejo un poco como pregunta abierta....

[Carlos Ivorra]

Bueno, a lo mejor me he ido a un caso demasiado simple. Una esfera en  con la métrica  de nunca va a poder ser una figura en un plano euclideo con la métrica de , sino podríamos emular cualquier espacio euclideo de n dimensiones en una dimensiñon sólo y el concepto de dimensiñon perdería su razón de  ser. Es necesario recurrir a medidas más sosfisticadas (Medida de Hausdorff, etc), que no conozco en detalle, aunque me gustaría para tener una visión global del problema de la medida.

Pero la métrica en induce una métrica en cada plano tangente de la esfera, y dichas métricas inducen medidas análogas a la de Lebesgue en los planos tangentes y dichas medidas determinan a su vez una medida en la esfera a la que a veces se llama también medida de Lebesgue. Esto vale para toda subvariedad diferencial de , con lo que tienes una medida natural en cada variedad diferencial, análoga a la medida de Lebesgue, sin necesidad de recurrir a medidas de Hausdorff ni nada parecido.

De hecho, es la medida de Lebesgue en la esfera la que en última instancia justifica que digamos que el área de una esfera es .

Por otra parte, que ha ya conjuntos no medibles tampoco es algo como para "quitarnos el sueño", que un conjunto no definible no lo sea pues tampoco me parece un hecho significativo. Lo que si sería interesante plantear es que conjuntos podemos considerar razonablemente que representan figuras geométricas. Lo dejo un poco como pregunta abierta....

Los conjuntos que podemos considerar razonablemente que representan figuras geométricas son todos abiertos o cerrados o, aunque quisieras hilar más fino, serían en cualquier caso conjuntos de Borel, y todos ellos son medibles para las medidas de las que te hablo.

[Sailor Starruler]

Pero la métrica en induce una métrica en cada plano tangente de la esfera, y dichas métricas inducen medidas análogas a la de Lebesgue en los planos tangentes y dichas medidas determinan a su vez una medida en la esfera a la que a veces se llama también medida de Lebesgue. Esto vale para toda subvariedad diferencial de , con lo que tienes una medida natural en cada variedad diferencial, análoga a la medida de Lebesgue, sin necesidad de recurrir a medidas de Hausdorff ni nada parecido.

Quizá debería haber planteado hasta dónde quería yo llegar. Efectivamente, en las rectas, "infraplanos" , planos"hiperplanos", hiperespacios,etc...  en  en general puedes tomar la medida del plano tangente en general, pero tienes que recurrir a la "versión infinitesimal" del teorema de Pitágoras, o por lo menos a una métrica semidefinida positiva que al multiplicarla por las diferenciales de las coordenadas ( arbitrarias salvo en cuanto a derivabilidad), e integrarlas (imagino que en este proceso podemos recurrir a la integral Lebesgue cuando menos y no se si sería posible generalizarla) para obtener la métrica en el espacio de Riemann en el que nos movemos ( en el espacio euclideo dentro del cuál estamos la métrica sería distinta pero cogiendo coordenadas adecuadas se reduciría a la formula de la diferencia de cuadrados de coordenadas de Hilbert), y esto sólo para una curva, si fueran hipersuperficies en  o más habría que recurrir a integrales de superficie, volumen, etc....
Pero vamos a mi idea, mi idea es si de alguna manera se puede justificar la definición de longitud, area, etc....a hipersuperficies dentro de espacios de mayor dimensión que a partir de la dimensión y longitud de Hausdorff para que automatemáticamente se nos generen las fórmulas diferenciales para longitudes


Por otra parte, ¿qué pasaría en el caso de que la hipersuperficie no fuera diferenciable? Los subconjuntos en los que se divide la paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, quedan muy lejos de los que es un conjunto visualizable, pero uan función que no es derivable en un conjunto finito  de puntos si es perfectamente visualizable, y su longitud se puede medir por tramos,  la ausencia de derivada en esos punto no parece un problema para definir la longitud, incluso cualquier función definida a trozo, de hecho en la medida de lebesuge un conjunto es también despreciable

Esto enlaza con ya la última cuestión , todos los conjuntos que en una dimensión  de Hausdorff d que tienen medida infinita para cualquier valor mayor de d y 0 para cualquier inferior, ¿son de la misma cardinalidad?

[Carlos Ivorra]

Quizá debería haber planteado hasta dónde quería yo llegar. Efectivamente, en las rectas, "infraplanos" , planos"hiperplanos", hiperespacios,etc...  en  en general puedes tomar la medida del plano tangente en general, pero tienes que recurrir a la "versión infinitesimal" del teorema de Pitágoras, o por lo menos a una métrica semidefinida positiva que al multiplicarla por las diferenciales de las coordenadas ( arbitrarias salvo en cuanto a derivabilidad), e integrarlas (imagino que en este proceso podemos recurrir a la integral Lebesgue cuando menos y no se si sería posible generalizarla) para obtener la métrica en el espacio de Riemann en el que nos movemos ( en el espacio euclideo dentro del cuál estamos la métrica sería distinta pero cogiendo coordenadas adecuadas se reduciría a la formula de la diferencia de cuadrados de coordenadas de Hilbert), y esto sólo para una curva, si fueran hipersuperficies en  o más habría que recurrir a integrales de superficie, volumen, etc....

En efecto, "hay que recurrir" a eso, pero no veo cuál es el problema. Un teorema es un teorema (en este caso la existencia de una medida con determinadas características) independientemente de la forma en que se demuestre. Nunca he entendido a quienes ponen condiciones para que una demostración les guste.

Pero vamos a mi idea, mi idea es si de alguna manera se puede justificar la definición de longitud, area, etc....a hipersuperficies dentro de espacios de mayor dimensión que a partir de la dimensión y longitud de Hausdorff para que automatemáticamente se nos generen las fórmulas diferenciales para longitudes

Es imposible decir algo a ciencia cierta sobre lo que podría o no podría hacerse. Yo sospecho que no, que la forma de definir una medida natural en una variedad diferencial es aprovechar que todo punto tiene un entorno que se confunde con un abierto en un espacio tangente. Es lo lógico, pues la esencia de una variedad diferencial es que es localmente euclídea, por lo que la forma natural de definir cosas sobre ella es convertir en globales propiedades locales válidas en los espacios euclídeos. Buscar otro camino es como plantearse si sería posible sentarse en una silla sin apoyarse en el asiento, que es la parte pensada para ello. Tal vez encuentres otra posición de la silla que lo permita, pero es difícil que el resultado sea igual de cómodo.

Por otra parte, ¿qué pasaría en el caso de que la hipersuperficie no fuera diferenciable? Los subconjuntos en los que se divide la paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, quedan muy lejos de los que es un conjunto visualizable, pero uan función que no es derivable en un conjunto finito  de puntos si es perfectamente visualizable, y su longitud se puede medir por tramos,  la ausencia de derivada en esos punto no parece un problema para definir la longitud, incluso cualquier función definida a trozo, de hecho en la medida de lebesuge un conjunto es también despreciable

En la medida en que resulte necesario, no habría ninguna dificultad en definir medidas sobre superficies más generales. Por ejemplo, puedes definir una medida natural sobre la superficie de un poliedro. Ahora bien, nadie pierde el tiempo definiendo cosas sobre una superficie o, en general, sobre un espacio raro, salvo si se encuentra en una situación en la que pueda necesitar trabajar en esa situación general como para que el esfuerzo esté justificado. ¿Para qué va uno a construir una medida sobre un poliedro si al final va a necesitar únicamente medidas sobre variedades diferenciales?

Esto enlaza con ya la última cuestión , todos los conjuntos que en una dimensión  de Hausdorff d que tienen medida infinita para cualquier valor mayor de d y 0 para cualquier inferior, ¿son de la misma cardinalidad?

Pues no sé. Nunca me lo he planteado. Yo apostaría a que no necesariamente. Por ejemplo, si supones la hipótesis del continuo sólo tienes dos cardinales posibles, así que la respuesta será positiva, pero si tienes más opciones, probablemente la respuesta será negativa.

[Sailor Starruler]

A mí es que la hipótesis del continuo me gusta, mo lo voy a negar, aunque sé que hay matemáticos que la detestan. mo vo y a lllegar ya ahora a  hacer las Matemáticas, es la única manera que veo de "cerrar" el probleama. En un principio veía una manera de cerrarr el problema de una manera muy ponbre, pero cuando me he dado cuenta de que las funciones que la cierran son no definibles, veo la manera de "completar"  parcialmente el problema de la incompletitud , no lo voy a negar.Por supuesto veo el problema de la incompletitud de Godel y de que nunca se van a poder completar del todo, pero cuanto m´sd completa tehgamos la teoría mejor.

[Carlos Ivorra]

Es cierto que hay matemáticos que tienen especial fobia por los axiomas adicionales, pero creo que tan inadecuada es esa actitud como la de quienes toman cualquiera de ellos (por ejemplo la hipótesis del continuo) como única opción. El problema de decir "yo tomo como axioma la hipótesis del continuo" no es lo que añades, sino lo que pierdes con ello. Es como si alguien dice "yo tomo como axioma el postulado de las paralelas (y, por consiguiente, no acepto ningún resultado de geometrías no euclídeas)".
Obviamente, uno puede dedicar toda su vida a estudiar exclusivamente la geometría euclídea, si eso es lo que le apetece, pero hacerlo por alguna clase de convicción del estilo de "porque es la geometría verdadera" o "porque no me siento a gusto estudiando a la vez la geometría euclídea y otras geometrías no euclídeas" o, "porque no me gusta que una pregunta tan básica como si existe una única paralela, muchas o ninguna (a una recta por un punto en un plano) quede sin una respuesta fija", a mi juicio indica alguna clase de prejuicio no matemático que no aporta nada positivo a las matemáticas y si un cierto empobrecimiento. Es sólo una opinión.

[Sailor Starruler]

Yo es que considero que los modelos con hipotesis del continuo son "modelos máximos" en el sentido de que los modelos en los que no existen biyecciones entre esos subconjuntos de cardinalidad intermedia y [tex] \aleph_0 [tex] y la cardinalidad del continuo son precisamente aquellos en los que las biyecciones entre ambos están prohibidas en el modelo, aunque no sé si está afirmación sería formalizable usando la teoría de modelos. De hecho, me gustaría saber algo má sobre teoría de modelos para poder identifica objetos de un modelo con los de otro, y poder llegar a afirmacione como que ZFC y NFA tienen "un modelo común", etc....pero imagino que todos los escritos sobre teoría de modelos usan una notación espesa no comprensible para alguien alejado del mundo de las Matemáticas

[Carlos Ivorra]

No veo claro ese punto de vista. Puedes tener dos modelos numerables de ZFC de modo que en M se cumpla la hipótesis del continuo y en N no se cumpla (porque haya más subconjuntos de en N que en M.

Tampoco veo en qué sentido podría decirse que ZFC y NFA tienen un modelo en común. De hecho, literalmente es falso, pues las dos teorías son mutuamente contradictorias (en una hay un conjunto universal y en la otra no), luego sus axiomas no pueden ser verdaderos en un mismo modelo.

[Sailor Starruler]

Del segundo párrafo, nada que añadir, la explicación es trivial, no puede haber modelos comunes, entonces es que no he entendido bien eso de que se fabrica un modelo de NFA+AC a partir de uno de ZFC.

Pero en cuanto a los del primer parrafo, vale, yo puedo asumir que haya modelos con más subconjuntos de un conjunto que otros (aunque ese "más " sea simplemente porque en uno de los modelos hacemos desaparecer biyecciones como ocurre por ejemplo en el modelo numerable de ZFC en la paradoja de Skolem, pero tendrá que haber un modelo no con todos los conjuntos, porque eso nos lleva a una paradoja impredicativa insalvable (tenemos conjuntos de otros conjuntos) y tenemos la paradoja de Russell ( no hay un modelo con todos los conjuntos);
pero si debería haber (o por lo menos no debe ser posible probar en una teoría de conjuntos que no lo haya ) para un determinado modelo de la teoría de conjuntos con sus números reales, una colección de todos esos subconjuntos de números reales (sean subconjuntos de la teoría o no) Se puede ser no platonista en general, pero no se puede ser no platonista para ciertos objetos tan obvios como los números naturales o los reales

[Sailor Starruler]

No veo claro ese punto de vista. Puedes tener dos modelos numerables de ZFC de modo que en M se cumpla la hipótesis del continuo y en N no se cumpla (porque haya más subconjuntos de en N que en M.

Pero el problema, es el mismo que relatas en el libro de Lógica, puede ser que haya más subconjuntos de   en N que en M, pero puede ser que "haya más " simplemente porque te estás cargando las biyecciones entre los modelos de  en N y los modelos de  en M, como ocurre por ejemplo en la paradoja de Skolem. Sería sensato trabajar en modelos (igual que trabajamos en modelos naturales) en modelos donde las funciones definibles metamatemáticamente existieran en los modelos

[Carlos Ivorra]

Del segundo párrafo, nada que añadir, la explicación es trivial, no puede haber modelos comunes, entonces es que no he entendido bien eso de que se fabrica un modelo de NFA+AC a partir de uno de ZFC.

A partir de un modelo de ZFC se puede construir un modelo de NFA + AC, eso es cierto, pero no es "el mismo modelo", sino que el modelo de NFA + AC se obtiene sustituyendo primero el modelo de ZFC por otro modelo no estándar que cumplen las mismas sentencias y luego quedándose con una parte de éste (no con todo). Lo que sale dista mucho de ser "el mismo modelo".

Pero en cuanto a los del primer parrafo, vale, yo puedo asumir que haya modelos con más subconjuntos de un conjunto que otros (aunque ese "más " sea simplemente porque en uno de los modelos hacemos desaparecer biyecciones como ocurre por ejemplo en el modelo numerable de ZFC en la paradoja de Skolem, pero tendrá que haber un modelo no con todos los conjuntos, porque eso nos lleva a una paradoja impredicativa insalvable (tenemos conjuntos de otros conjuntos) y tenemos la paradoja de Russell ( no hay un modelo con todos los conjuntos);
pero si debería haber (o por lo menos no debe ser posible probar en una teoría de conjuntos que no lo haya ) para un determinado modelo de la teoría de conjuntos con sus números reales, una colección de todos esos subconjuntos de números reales (sean subconjuntos de la teoría o no)

No sé si te entiendo. Un modelo de ZFC siempre puede ser extendido por otro modelo que tiene más números reales que el primero, no ya en el sentido de cardinal, sino en el sentido de que el conjunto de números reales del modelo grande contiene estrictamente al conjunto de números reales del modelo pequeño. En ese sentido, se puede decir que nunca tienes "todos" los números reales en un modelo, porque siempre puedes añadir más.

Se puede ser no platonista en general, pero no se puede ser no platonista para ciertos objetos tan obvios como los números naturales o los reales

Ojo. En lo que respecta a los números naturales estoy de acuerdo contigo, pero no creo que "la totalidad de los números reales" tenga nada de obvio. Yo, personalmente, no creo que exista ningún concepto intuitivo que se corresponda con esa idea formal. Los números reales no son obvios en absoluto.

[Carlos Ivorra]

Pero el problema, es el mismo que relatas en el libro de Lógica, puede ser que haya más subconjuntos de   en N que en M, pero puede ser que "haya más " simplemente porque te estás cargando las biyecciones entre los modelos de  en N y los modelos de  en M, como ocurre por ejemplo en la paradoja de Skolem. Sería sensato trabajar en modelos (igual que trabajamos en modelos naturales) en modelos donde las funciones definibles metamatemáticamente existieran en los modelos

Pero eso es imposible en modelos numerables. En un modelo numerable (cumpla o no la hipótesis del continuo) siempre habrá biyecciones metamatemáticas que no existan en el modelo (por ejemplo, biyecciones entre los números naturales del modelo y los números reales del modelo). Estás pidiendo trabajar en modelos no numerables, cuya existencia metamatemática es dudosa.

[Sailor Starruler]

Cuya existencia matemática es dudosa

Supongo que tendrás argumentos para tal afirmación, pero lo cierto es que todos los que trabajamos en las ciencias experimentales, incluso te diría  ya en el bachillerato, trabajamos con la visión de los números como cadenas de números enteros, seguidas de ristras infinitas ( en principio definibles, claro, aunque aditimos las no definibles, y eso es lo que ya no tengo tan claro que se pueda tratar metamatemáticamente) , operamos con ellas, obtenemos resultados con ellas, no de manera exacta, pero si aproximada, es decir, cuando escribimos x=3,5 queremos decir ( en el peor de los casos) que y que  y eso ya si es una fórmula de ZFC en cualquier modelo (admitiendo la notacion estandar para los naturales. Dudo mucho que haya un algoritmo que en el modelo numerable de ZFC nos permitiera esos cálculos aproximados. Asi que esos modelos "metamatemáticamente manejables" por ser numerables no son tan útiles en la práctica ( por eso no los usamos) ¿o no es así?

[Carlos Ivorra]

Cuya existencia matemática es dudosa

Supongo que tendrás argumentos para tal afirmación,

Hablé mucho de esto en otro hilo. Es difícil seleccionar el mejor punto que sirva de referencia, pero mira, si quieres, alrededor de este mensaje. Especialmente lo que dice luego Cristian C, pues ahí hablábamos de hasta qué punto son intuitivos los conceptos geométricos:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,36072.msg204356.html#msg204356

pero lo cierto es que todos los que trabajamos en las ciencias experimentales, incluso te diría  ya en el bachillerato, trabajamos con la visión de los números como cadenas de números enteros, seguidas de ristras infinitas ( en principio definibles, claro, aunque aditimos las no definibles, y eso es lo que ya no tengo tan claro que se pueda tratar metamatemáticamente)

Es que ahí precisamente está el problema.

, operamos con ellas, obtenemos resultados con ellas, no de manera exacta, pero si aproximada, es decir, cuando escribimos x=3,5 queremos decir ( en el peor de los casos) que y que  y eso ya si es una fórmula de ZFC en cualquier modelo (admitiendo la notacion estandar para los naturales. Dudo mucho que haya un algoritmo que en el modelo numerable de ZFC nos permitiera esos cálculos aproximados. Asi que esos modelos "metamatemáticamente manejables" por ser numerables no son tan útiles en la práctica ( por eso no los usamos) ¿o no es así?

Esto no lo entiendo. En un modelo transitivo numerable de ZFC tendrás una cantidad numerable de números reales que se operan con las mismas reglas usuales.