Sucesiones de intervalos anidados

[alemunozgar]

Saludos a todos
¿Alguien me podría dar un ejemplo de alguna sucesión decreciente de intervalos cerrados anidados cuya intersección esté vacía? O, ¿Alguna sucesión acotada, anidada de intervalos abiertos cuya intersección esté vacía?

Para la abierta, ¿algo como  funciona?

¡Muchas gracias!

[pepito]

Es que el 1 está en la intersección de todos esos intervalos. Te serviría, en cambio, .

Después, si buscás que sean cerrados, depende de qué espacio métrico estés considerando, pero en es imposible conseguirlo.

[alemunozgar]

Entiendo, pero en cuál sería posible, yo lo he analizado en y así se me pide:
 "Give an example of a decreasing nested sequence of closed
intervals whose intersection is empty."
Mi traducción es algo como: Dé un ejemplo de una seria decreciente anidada de intervalos cuya intersección sea vacía.

Supongo que es en pues es análisis real, pero; ¿podrías decirme en qué posible espacio métrico se encuentra algo así?

[alemunozgar]

Es que el 1 está en la intersección de todos esos intervalos. Te serviría, en cambio, .

  Me pregunto cuál es el supremo, o el mínimo del conjunto de las cotas superiores; pues debe ser acotado.

Muchas gracias por tu colaboración; calurosos saludos!

[pepito]

Es que en , si es el supremo del conjunto formado por los extremos inferiores de los intervalos cerrados anidados y el el ínfimo del conjunto formado por sus extremos superiores, entonces podés probar que y que es la intersección de dichos intervalos.

Esto no se puede reproducir en , porque no todo conjunto tiene supremo o ínfimo.

[alemunozgar]

Qué tal la sucesión: claramente en cerrada, anidada y la intersección es vacía.
Saludos.

[Tanius]

Por intervalo cerrado se está entendiendo un conjunto de la forma con y .

[alemunozgar]

Pues, yo encontré algo como: ..."and the sequence of unbounded closed sets Ck = [k, ∞) have empty intersection. All these sequences are properly nested." en el teorema de intersección de Cantor, me imaginé y para mí tiene algo de sentido, pero si es tan riguroso está bien.
Gracias!

[Tanius]

Sí, tiene sentido claro, pero es que mira lo que pusiste en tu primer mensaje:

¿Alguien me podría dar un ejemplo de alguna sucesión decreciente de intervalos cerrados anidados cuya intersección esté vacía?

Tú espeficas intervalos cerrados, y usualmente los conjuntos de la forma no son llamados intervalos cerrados.