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andreschileno

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Sumatoria

« : 24/03/2012, 11:38:16 pm »

Hola chicos:

Quería pedirles que me explicaran la igualdad 2 y la última igualdad de este problema que no las entendi.

De antemano, gracias.

pd: la demostración está hecha, solo que no entendi las igualdades que mencione anteriormente.

$Demostrar\;que: \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}= \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k}{k} para\; todo\; j\geq 1 , \frac{1}{j}+\frac{1}{j}=\frac{1}{\frac{j}{2}}\; y\; es\; facil\; ver\; que\; \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}= \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k} (igualdad\; 2) de\;\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}+\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k},\: obtenemos: \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}(última\;igualdad)$

pd: sorry XD, no me di cuenta donde lo postie.


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Gustavo

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Re: Sumatoria

« Respuesta #1 : 25/03/2012, 02:03:41 am »

Cita

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}= \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k}$

Si k es impar, $\dfrac{1}{k}+\dfrac{(-1)^k}{k}=0$ . Si k es par, $\dfrac{1}{k}+\dfrac{(-1)^k}{k}=\dfrac{2}{k}$ . Se tiene entonces que $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{1}{k}+\dfrac{(-1)^k}{k}=\displaystyle\sum_{k\mbox{ par}}^{2n}\dfrac{2}{k}$ . Ahora, si k es par y $0\le k\le 2n,\; k=2m$ (donde $0\le m\le n$ ), y así tenemos una correspondencia entre los términos de las sumatorias (que queremos verificar que son iguales): $\dfrac{2}{k}=\dfrac{2}{2m}=\dfrac{1}{m}$ . Si quieres, míralo para n=4.

Cita

$-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$

El -1 multiplicando a la sumatoria lo multiplicas a cada término de ella, $(-1)(-1)^k=(-1)^{k+1}$ .


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andreschileno

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Re: Sumatoria

« Respuesta #2 : 25/03/2012, 01:53:42 pm »

Gracias, me quedo todo claro.


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