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Autor Tema: Problema Códigos Lineales  (Leído 2905 veces)
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jaumeroures
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« : 22/03/2012, 07:09:25 pm »

Sea [texx]\mathcal{C}\subset{F_2}^n[/texx] un codigo lineal de dimensión [texx]k[/texx] . Probar que, bien todas,
bien exactamente la mitad de las palabras de [texx]\mathcal{C}[/texx] tienen peso par.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 23/03/2012, 05:29:33 am »

Hola

 Primero prueba (si no te lo han probado ya) que en [texx]F_2^n[/texx] se si denotamos por [texx]w(x)[/texx] al peso de [texx]x[/texx], entonces:

[texx] (-1)^{w(x+y)}=(-1)^{w(x)}(-1)^{w(y)}[/texx]

 En particular el sumar una palabra [texx]x[/texx] con otra de peso impar, invierte la paridad del peso de [texx]x[/texx].

 Ahora dado tu código lineal [texx]C[/texx], si existe una palabra [texx]y[/texx] de peso impar, tienes una biyección:

[texx] f:C\longrightarrow{}C,\quad f(x)=x+y[/texx]

 que lleva las palabras de peso par en peso impar y viceversa.

 Concluye.

Saludos.
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Phicar
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« Respuesta #2 : 23/03/2012, 10:13:29 am »

Mm ayer antes de que el foro cayera en mantenimiento escribi una posible respuesta espero que sea de ayuda si se desea otro camino:

Cita
Hola, puedes ver el ejercicio de la siguiente manera
Si todo vector en la base de [texx]\mathcal{C}[/texx] tiene peso par pues es el caso donde vas a tner que todas las palabras tendran un peso par. Entonces tenemos que preocuparnos del hecho de que haya q vectores con peso impar con [texx]0<q \leq k[/texx]

Asi tenemos que ver las formas de combinar linealmente los vectores pares con un numero par(s=2s' con [texx]s \leq q[/texx]) de vectores impares.
Toca tener en cuenta que la cantidad de vectores distintos que podemos armar es [texx]2^k[/texx] si el codigo es k-dimensional. Eso se sigue de que el campo es [texx]F_2[/texx] y hay unicidad en los coeficientes.

Y se vuelve un problema de conteo. Fijate que las formas de crear codigos con peso par seran
[texx]2^{k-q}\displaystyle\binom{q}{0}+2^{k-q}\displaystyle\binom{q}{2}+2^{k-q}\displaystyle\binom{q}{4}...[/texx] hasta que llegues a contar q o q-1 dependiendo de la paridad de q.

Trata de expresar lo de arriba para ver como podemos deducir que la mitad de los codigos son de peso par.
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jaumeroures
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« Respuesta #3 : 27/03/2012, 11:22:07 am »

muchas gracias me ha sido de gran ayuda el aporte problema resuelto :cara_de_queso:
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