Suma constante

[michel]

En un triángulo ABC, con AB = AC, se toma un punto M sobre la base BC.
Demostrar que la suma de las distancias de M a los lados AB y AC es constante, cualquiera que sea la posición de M.

[michel]

Sean MQ y MP las distancias del punto M a los lados.

CD, paralela a MQ, y ME, paralela a AB, se cortan en F.

El triángulo EMC también es isósceles; entonces MP=CF, por ser las alturas correspondientes a lados iguales, CE y ME.

MQ=FD por segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas.

Como consecuencia, MP+MQ=CF+FD=CD, que es una altura del triángulo ABC y, por tanto, constante.

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[michel]

Otra forma. Vale la misma figura.

La suma de las áreas de los triángulos ABM y ACM es igual al área del triángulo ABC.

(ABM)+(ACM)=(ABC)   

(AB.MQ)/2+(AC.MP)/2=(AB.CD)/2, de donde AB.MQ+AC.MP=AB.CD

Como AB=AC por ser ABC un triángulo isósceles, resulta

AB(MQ+NP)=AB.CD

Y de aquí se obtiene MQ+NP=CD