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kevinsteven

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Integral de linea

« : 15/03/2012, 11:36:45 am »

hola

$\displaystyle\int_{C} \frac{dx+dy}{\left | x \right |+\left | y \right | } donde c es el contorno de cuadrado de vértices (1.0), (0,1) y (-1,0)(0,-1), recorrido en sentido contrario al de las agujas del reloj$

Mi pregunta es: ¿tengo que partir el cuadrado en 4 partes?


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el_manco

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Re: integral de linea

« Respuesta #1 : 15/03/2012, 12:16:21 pm »

Hola

Tienes que parametrizar cada lado. Por ejemplo el lado que une los puntos

podría parametrizarse como:

$\alpha_1:[0,1]\longrightarrow{}R^2,\quad \alpha_1(t)=(1-t)(1,0)+t(0,1)=(1-t,t)$

y por cada una de esos lados hacer una integral. Por ejemplo en ese primer tramo:

$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{|1-t|+|t|}\left(\dfrac{d(1-t)}{dt}+\dfrac{d(t)}{dt}\right)dt=\ldots$

Saludos.


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kevinsteven

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Re: integral de linea

« Respuesta #2 : 16/03/2012, 12:04:39 am »

$\displaystyle\int_{0}^{-1}\displaystyle\frac{1}{|-1+t|+|t|}( \displaystyle\frac{d(-1+t)}{dt} +\frac{d(t)}{dt}) dt$ no se si esta bien y la otra seria

$\displaystyle\int_{-1}^{-1}\displaystyle\frac{1}{|-1+t|+|-t|}( \displaystyle\frac{d(-1+t)}{d(-t)} +\frac{d(t)}{dt}) dt$ y la ultima seria

$\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{|-1+t|+|t|}( \displaystyle\frac{d(-1+t)}{dt} +\frac{d(t)}{dt}) dt$ no se si estan bien las respuestas


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el_manco

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Re: Integral de linea

« Respuesta #3 : 16/03/2012, 05:02:35 am »

Hola

No está bien. Esta integral:

$\displaystyle\int_{0}^{-1}\displaystyle\frac{1}{|-1+t|+|t|}( \displaystyle\frac{d(-1+t)}{dt} +\frac{d(t)}{dt}) dt$

correspondería a un segmento que une los puntos

.

En la siguiente:

$\displaystyle\int_{-1}^{-1}\displaystyle\frac{1}{|-1+t|+|-t|}( \displaystyle\frac{d(-1+t)}{d(-t)} +\frac{d(t)}{dt}) dt$

no sé porque pones esos límites y aparece el

La tercera correspondería al segmento que une los puntos

.

Lo que tienes que tener en cuenta es que la curva que une el segmento que va desde

hasta

viene dada por:

$\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))=(1-t)A+tB$ con $t\in [0,1]$

La integral sobre tal segmento sería:

$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{|\alpha_1(t)|+|\alpha_2(t)|}\left(\dfrac{d\alpha_1}{dt}+\dfrac{d\alpha_2}{dt}\right)dt$

Tu tienes que integrar en los tramos:

- De

- De

Saludos.


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