Demostraciones Borel medible

[mgm_]

Decimos que una función es una función de Borel medible si satisface que:



1.Pruebe que f es Borel medible si y sólo si se satisface que:

2.Pruebe que si f es continua, entonces f es Borel medible, y de un ejemplo de una función Borel medible que no sea continua.

Hint: Para lo primero recuerde la definición de una función continua con imágenes inversas, para lo segundo piense en los racionales e irracionales.

3. Sea un espacio de probabilidad, X una variable aleatoria en este espacio y f una función Borel medible, pruebe que es variable aleatoria.

[el_manco]

Hola

 1. El enunciado está mal. Debiera de decir "... si y sólo si se satisface...". Para probarlo ten en cuenta que todo conjunto borel medible puede ponerse como intersección y/o unión numerable de conjuntos de la forma .

 2. Simplemente ten en cuenta que en una función continua la imagen recíproca de un cerrado es cerrada, que es cerrado y que a su vez los cerrados son Borel medibles. Para el contrajemplo piensa en una función muy sencilla con una discontinuidad de salto.

 3. Simplemente comprueba la definición de variable aleatoria y utiliza que es Borel medible.

Saludos.

P.D. Habías repetido la misma pregunta dos veces. He borrado una de ellas.

[mgm_]

Hola, antes que nada gracias por tu respuesta, aunque ¿te podría pedir que fueras más específico?, la verdad es que no se ni como empezar éstas demostraciones.

[héctor manuel]

De hecho, también la definición de función medible está mal.

La definición de Borel medible es

es Borel-medible si se tiene que (la preimagen de cualquier Borel-medible es Borel-medible)

Nota que lo que has dado como definición de Borel medible ni siquiera tiene sentido.

Saludos.

[el_manco]

Hola

 No te tome a mal el comentario: me cuesta entender que no sepas "ni como empezar". Tiene que ser un bloqueo casi psicológico, un miedo a intentar cosas.

 Entiendo que una persona que estudia teoría de la medida y/o teoría del probabilidad a este nivel, ha visto suficientes demostraciones como para saber como empezar a intentar probar algo. Luego uno puede encontrarse con dificultades, ¡claro!.

 Entonces veamos:

 1) Nos piden probar una equivalencia: Borel medible para todo .

 Entonces primero probamos la equivalencia en un sentido y luego en el otro.
 
" ".

 Supongamos que es Borel medible, entonces dado , es decir, un conjunto de Borel, debemos de probar que:



 Nota que: y .

 Como es un conjunto de Borel puede ponerse como unión, intersección y complementarios, numerable de conjuntos del tipo .

 La imagen recíproca de la unión, interesección o complementario de varios conjuntos, es la unión, intersección o complementarios de la imagen recírpoca de tales conjuntos.

 Por tanto puede ponerse como unión, intersección y complementarios, numerable de conjuntos del tipo . Pero^ por ser Borel medible. Y entonces es de Borel por ser unión, intersección y complementarios de conjuntos de Borel.


 La otra implicación es inmediata; inténtala así como los otros apartados.

Saludos.

[el_manco]

Hola

De hecho, también la definición de función medible está mal.

La definición de Borel medible es

es Borel-medible si se tiene que (la preimagen de cualquier Borel-medible es Borel-medible)

Nota que lo que has dado como definición de Borel medible ni siquiera tiene sentido.

Saludos.

hector manuel, lo que tiene mgm, creo, es simplemente una pequeña errata. En el apartado (1) precisamente le piden probar que la definición que le han dado coincide con la que dices. La que le han dado ella la escribió así:

para todo 

pero entiendo se refería (y de hecho lo leí así y ni me di cuenta del error):

para todo 

Saludos.

[mgm_]

Muchas gracias por tu respuesta! Buena noche!