Teorema de Taylor de segundo orden para funciones de dos variables.

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Veeriitoo18:
Hola ¿me podrían ayudar a demostrar el teorema de Taylor de segundo orden para funciones de dos variables?
El enunciado dice:

[texx]f:A\subset{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}}[/texx] con derivadas parciales continuas hasta el orden 3; entonces para el vector V=(h;k) se tiene:

[texx]f(x_0+ h;y_0+k)=f(x_0;y_0)+{h\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_0;y_0)} + {k\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_0;y_0)} + \displaystyle\frac{1}{2}[\frac{{h^2 \partial^2 f}}{{\partial x^2}}(x_0;y_0) + 2hk \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x\partial y}}(x_0;y_0) + \frac{{k^2 \partial^2 f}}{{\partial y^2}}(x_0;y_0)] + R(x_0;y_0)[/texx]

Encontré una demostración para funciones de una variable nose como aplicar eso en el de dos variables ¿qué cambiaría? ¿qué partes debo cambiar para la de 2 variables? por ejemplo en la primera parte cuando se utiliza la regla de la cadena ¿cómo quedaría para la de 2 variables?

El de una variable dice:
Sea [texx]f:A\subset{\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{R}}}[/texx], f de clase [texx]c^3[/texx]; entonces para el vector h =(h1,h2,....,hn)

[texx]f(x_0+ h)=f(x_0)+ \displaystyle\sum_{i=1}^n{h_i \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0)} + \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i,j=1}^n{h_i h_j}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0)+R(x_0,h)[/texx]

Donde [texx]\displaystyle\frac{R_2(x_0,h)}{||h||^2}\longrightarrow{0}[/texx] cuando [texx]h\longrightarrow{0}[/texx]

Para hacer este desarrollo consideramos la función auxiliar : [texx] f(x_0 + t.h) [/texx] con [texx] t\in{\mathbb{R}}[/texx]

[texx] \frac{d}{dt} (f(x_0 + t.h)[/texx] = por regla de la cadena [texx]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{h_i \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)} [/texx] 1

Ahora vamos a integrar ambos miembros respecto de t entre 0 y 1

[texx]\int_0^1 \frac{d}{dt}( f(x_0+t.h){dt}= \int_0^1\displaystyle\sum_{i=1}^n {h_i \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)}{dt}=[/texx] 2

[texx]= f(x_0+t.h) \int_0^1 = \displaystyle\sum_{i=1}^n \int_0^1{h_i \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)}{dt}=[/texx]

[texx] f(x_0+h) - f(x_0) =\displaystyle\sum_{i=1}^n \int_0^1{h_i \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)}{dt}[/texx]3

Ahora vamos a integrar el segundo miembro de 3 por partes:

Como sabemos [texx] \displaystyle\int_{a}^{b} U.{dV} = U.V - \displaystyle\int_{a}^{b} V.{dU}[/texx]

[texx] U= {h_i \frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)} \Rightarrow{ {dU = \displaystyle\sum_{j=1}^n{h_i h_j}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0+t.h)}{dt}[/texx]
[texx]{dV} = {dt} \Rightarrow{V= (t-1)} [/texx] por conveniencia


Luego la integral 3 es:

[texx]\int_0^1\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)}{h_i}{dt}= \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0+t.h)}.(t-1){h_i} - \displaystyle\int_{0}^{1} (t-1)\displaystyle\sum_{j=1}^n\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0+t.h)}{h_i h_j} {dt} [/texx]=

[texx]=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0)}{h_i} +{\displaystyle\sum_{j=1}^n} \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0+t.h)(1-t){h_i h_j}{dt}=[/texx]   4

Reemplazo 4 en 3 y tengo que:

[texx]f(x_0+h) - f(x_0) = \displaystyle\sum_{i=1}^n [\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0){h_i } + \displaystyle\sum_{j=1}^n \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0+t.h)(1-t).{h_i h_j}{dt}=[/texx]  5

Integro nuevamente la última integral por partes:

[texx]U=\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0+t.h){h_i h_j}\Rightarrow{{dU}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{{\partial^3 f}}{{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}}(x_0+t.h){h_i h_j h_k}{dt}[/texx]
[texx] {dV} =(1-t).{dt} \Rightarrow{ V={\frac{-1}{2}(1-t)^2}[/texx]

Luego la integral quedaría:

[texx] \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0+t.h)(1-t).{h_i h_j}{dt}= \frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}}(x_0){h_i h_j) + \frac{1}{2}[\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{{\partial^3 f}}{{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}}(x_0+t.h)(1-t)^2{h_i h_j h_k}]{dt}[/texx]  6

Ahora reemplazo 6 en 5 y tengo que:
 [texx] f(x_0+h) = f(x_0) +\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x_0){h_i} +
\frac {1}{2}\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i\partial x_j}} (x_0){h_i h_j}+\frac {1}{2} \displaystyle\sum_{i,j,k=1}^n \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{{\partial^3 f}}{{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}}(x_0+t.h)(1-t)^2 {dt}[/texx]

Donde  [texx]R ( X_0,h) = \frac {1}{2} \displaystyle\sum_{i,j,k=1}^n \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{{\partial^3 f}}{{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}}(x_0+t.h)(1-t)^2 {dt}[/texx]

Ahora debo probar que [texx]\displaystyle\frac{R(x_0,h)}{||h||^2}\longrightarrow{0}[/texx] cuando [texx]h\longrightarrow{0}[/texx]



pierrot:
Hola Veeriito18

Por desgracia, no dispongo de tiempo suficiente para ver con detenimiento el desarrollo que has hecho. Pero sí te recomiendo este sitio:

http://www.fing.edu.uy/~eleonora/VideosCalculo2.html

Son videos de la Dr. Ing. Eleonora Catsigeras, una profesora del Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia (IMERL) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la Repúbilca (UdelaR, Uruguay). Entre estas clases grabadas, está el enunciado y la demostración del teorema de Taylor en varias variables (clase 19).

Espero que te sirva.

Saludos.

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