Teorema de Taylor de segundo orden para funciones de dos variables.

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Veeriitoo18:
Hola ¿me podrían ayudar a demostrar el teorema de Taylor de segundo orden para funciones de dos variables?
El enunciado dice:

con derivadas parciales continuas hasta el orden 3; entonces para el vector V=(h;k) se tiene:



Encontré una demostración para funciones de una variable nose como aplicar eso en el de dos variables ¿qué cambiaría? ¿qué partes debo cambiar para la de 2 variables? por ejemplo en la primera parte cuando se utiliza la regla de la cadena ¿cómo quedaría para la de 2 variables?

El de una variable dice:
Sea , f de clase ; entonces para el vector h =(h1,h2,....,hn)



Donde cuando

Para hacer este desarrollo consideramos la función auxiliar : con

= por regla de la cadena 1

Ahora vamos a integrar ambos miembros respecto de t entre 0 y 1

2



3

Ahora vamos a integrar el segundo miembro de 3 por partes:

Como sabemos


por conveniencia


Luego la integral 3 es:

=

  4

Reemplazo 4 en 3 y tengo que:

  5

Integro nuevamente la última integral por partes:




Luego la integral quedaría:

  6

Ahora reemplazo 6 en 5 y tengo que:
 

Donde 

Ahora debo probar que cuando



pabloN:
Hola Veeriito18

Por desgracia, no dispongo de tiempo suficiente para ver con detenimiento el desarrollo que has hecho. Pero sí te recomiendo este sitio:

http://www.fing.edu.uy/~eleonora/VideosCalculo2.html

Son videos de la Dr. Ing. Eleonora Catsigeras, una profesora del Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia (IMERL) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la Repúbilca (UdelaR, Uruguay). Entre estas clases grabadas, está el enunciado y la demostración del teorema de Taylor en varias variables (clase 19).

Espero que te sirva.

Saludos.

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