Teorema de Taylor de segundo orden para funciones de dos variables.

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Veeriitoo18:
Hola ¿me podrían ayudar a demostrar el teorema de Taylor de segundo orden para funciones de dos variables?
El enunciado dice:

[texx]f:A\subset{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] con derivadas parciales continuas hasta el orden 3; entonces para el vector [texx]\vec{v}=(h;k)[/texx] se tiene:

[texx]\displaystyle f(x_0+ h;y_0+k)=f(x_0;y_0)+h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0;y_0) + k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0;y_0) + \frac{1}{2}\left[\frac{h^2 \partial^2 f}{\partial x^2}(x_0;y_0) + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0;y_0) + \frac{k^2 \partial^2 f}{\partial y^2}(x_0;y_0)\right] + R(x_0;y_0)[/texx]

Encontré una demostración para funciones de una variable no sé cómo aplicar eso en el de dos variables ¿qué cambiaría? ¿qué partes debo cambiar para la de 2 variables? por ejemplo en la primera parte cuando se utiliza la regla de la cadena ¿cómo quedaría para la de 2 variables?

El de una variable dice:
Sea [texx]f:A\subset{\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{R}}}[/texx], f de clase [texx]C^3[/texx]; entonces para el vector [texx]\vec{h} =(h_1,h_2,....,h_n) [/texx]

[texx]\displaystyle f(x_0+ h)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n{h_i h_j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0)+R(x_0,h)[/texx]

Donde [texx]\displaystyle\frac{R_2(x_0,h)}{||h||^2}\longrightarrow{0}[/texx] cuando [texx]h\longrightarrow{0}[/texx]

Para hacer este desarrollo consideramos la función auxiliar: [texx]f(x_0 + th)[/texx] con [texx]t\in{\mathbb{R}}[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{d}{dt}\big(f(x_0 + th)\big)[/texx] = por regla de la cadena [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th)[/texx] (1)

Ahora vamos a integrar ambos miembros respecto de [texx]t[/texx] entre 0 y 1

[texx]\displaystyle \int_0^1 \frac{d}{dt}\big( f(x_0+th)\big) dt = \int_0^1\sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th) dt =[/texx] (2)

[texx]\displaystyle \int_0^1 \frac{d}{dt}\big( f(x_0+th)\big) dt = \sum_{i=1}^n \int_0^1 h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th)dt =[/texx]

[texx] f(x_0+h) - f(x_0) =\displaystyle\sum_{i=1}^n \int_0^1 h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th) dt[/texx] (3)

Ahora vamos a integrar el segundo miembro de 3 por partes:

Como sabemos [texx]\displaystyle\int_a^b UdV = UV - \int_a^b VdU[/texx]

[texx]\displaystyle U= h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th) \Rightarrow  dU = \sum_{j=1}^nh_i h_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0+th)dt[/texx]
[texx]dV=dt\Rightarrow V=(t-1)[/texx] por conveniencia

Luego la integral 3 es:

[texx]\displaystyle \int_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th)h_idt=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0+th)(t-1)h_i - \int_0^1(t-1)\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0+th)h_i h_jdt[/texx]

[texx]\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)h_i+\sum_{j=1}^n\int_0^1\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0+th)(1-t)h_i h_jdt=[/texx] (4)

Reemplazo 4 en 3 y tengo que:

[texx]f(x_0+h) - f(x_0) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \left[\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)h_i + \sum_{j=1}^n\int_0^1 \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0+th)(1-t)h_i h_jdt\right]=[/texx] (5)

Integro nuevamente la última integral por partes:

[texx]\displaystyle U=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0+th)h_i h_j\Rightarrow dU=\sum_{k=1}^n\frac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x_0+th)h_i h_j h_kdt[/texx]
[texx]dV=(1-t)dt \Rightarrow V=\frac{-1}{2}(1-t)^2[/texx]

Luego la integral quedaría:

[texx]\displaystyle\int_0^1\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0+th)(1-t)h_i h_jdt = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0)h_i h_j + \frac{1}{2}\left[\int_0^1\sum_{k=1}^n\frac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x_0+th)(1-t)^2{h_i h_j h_k}\right]dt[/texx] (6)

Ahora reemplazo 6 en 5 y tengo que:
[texx]\displaystyle f(x_0+h) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0){h_i} +
\frac {1}{2}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0){h_i h_j}+\frac{1}{2}\sum_{i,j,k=1}^n\int_0^1\frac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x_0+th)(1-t)^2 dt[/texx]

Donde  [texx]R(x_0,h) = \frac {1}{2} \displaystyle\sum_{i,j,k=1}^n \int_{0}^{1}\frac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x_0+th)(1-t)^2dt[/texx]

Ahora debo probar que [texx]\displaystyle\frac{R(x_0,h)}{||h||^2}\longrightarrow{0}[/texx] cuando [texx]h\longrightarrow{0}[/texx]

pierrot:
Hola Veeriito18

Por desgracia, no dispongo de tiempo suficiente para ver con detenimiento el desarrollo que has hecho. Pero sí te recomiendo este sitio:

http://www.fing.edu.uy/~eleonora/VideosCalculo2.html

Son videos de la Dr. Ing. Eleonora Catsigeras, una profesora del Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia (IMERL) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la Repúbilca (UdelaR, Uruguay). Entre estas clases grabadas, está el enunciado y la demostración del teorema de Taylor en varias variables (clase 19).

Espero que te sirva.

Saludos.

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