Comprobar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de 4-uplas

[gmares]

Se tiene el siguiente conjunto:


Se desea determinar el rango e identificar las 4-uplas que son l.i.
Planteando y resolviendo un sistema lieneal de :



Se llega ha:


Despejando la 4-upla: resulta:


Ahora tenemos el subconjunto la idea es comprobar que el las 4-uplas del sistema son l.i. El problema es como armo el sistema de ecuaciones ya que tendría tres


y una matriz de sistema de .


Cómo armo el sistema de ecuaciones, me sobra una fila o , cómo se plantea?

Se me ocurre esta forma, pero seguramente es errónea:


Así está bien? Y ahora como escalerizo y resulevo, no puedo aplicar gauss ni invertir la matriz porque no es cuadrada, alguna sujerencia!

[yotas]

Yo diría que el trabajo se te haría más agradable si intentas "bajarlo" todo con Gauss-Jordan desde el inicio, y llegar a la forma reducida. Lo que te "sobre" será lo L.I.

[gmares]

Claro, pero imagina que yo te doy este ejercicio:

Tu como lo resuelves?

Por otra parte (sin demostrarlo todavía) se sabe que el sistema:

es linealmente independiente, (como dije lo se de antemano todavía no lo comprobé, echo que resulta de resolver el sistema de mas arriba) ahora si de:



despejaba la 4-upla:


Es el conjunto l.i. o no lo es? Esta pregunta equivale a decir que puedo despejar cualquiera de las tres 4-uplas del sistema anterior, con coeficiente () no nulo, y descartarla obteniendo un subconjunto l.i. no importa cual sea la 4-upla que e despejado... Es as'i?

Agradezco vuestra ayuda, son dos dudas muy puntuales y de tener una respuesta, sería muy esclarecedor para mi. Gracias!

[yotas]

Pos, diría que directamente lo resolvieras con Gauss, la matriz no es invertible, bueno, ni de chiste. Y evidentemente se te irían uno, dos o tres vectores al reducir. Sería el mismo proceso. Porque es un conjunto de 4 elementos en que es dimensión 3.

Lo que dices de tu conjunto sucede solamente si tienes un sistema que posee un único elemento que hace al conjunto un conjunto L.D. En ese caso al retirar un elemento (no estoy seguro si cualquiera) podrás obtener un conjunto L.I. El conjunto si es L.I, no significa que sea el único L.I que puedas encontrar.

[yotas]

Bueno, ahora sí estoy seguro. =3
Puedes sacar cualquier elemento si sólo es uno el que destruye la independencia. Supongo que la generalización "evidente" debe ser cierta también.

[gmares]

Claro, se puede extraer cualquier 4-upla, menos aquella que tiene su coeficiente en nuestro caso: no es combinación lineal de ninguna de las demás, así que no se puede extraer... Las otras al parecer si, y la estracción de cualquiera de ellas a priori generaría un conjunto l.i. Faltaría alguna prueba teórica de ello, la habrá?

Por otra parte, resolví el sistema por Gauss, pero tengo un inconveniente en la interpretación final:


Lo que me confunde es como debo interpretar la última fila de ceros, qué indica, redundancia de información?

De ahí interpreto que es determinado, y , , , pero que pasa con la última fila de de la matriz ampliada del sistema, carece de significado sin más?

Gracias por responder!

[el_manco]

Hola

 No entiendo tus dudas. Nada más comenzar:

Se tiene el siguiente conjunto:


Se desea determinar el rango e identificar las 4-uplas que son l.i.
Planteando y resolviendo un sistema lieneal de :



Se llega ha:

 ¿Por qué en lugar de pones ?.

Saludos.

[gmares]

Hola Manco, al resolver el sistema de ecuaciones lineales:


Resulta que:
; y

Poniendo los coeficientes y en función de uno solo , reemplazando por su único valor que satisface el sistema:   y finalmente expresando el resultado en notción de las 4-uplas se obtiene:


Las dudas son dos:

1) Si yo quito una de las 4-uplas con coeficiente no nulo (esto es exceptuando ) obtengo un sistema linealmente independiente. He comprobado que esto sucede cualquiera sea la que quite digamos:

Quito:
es l.i.

Quito
es l.i.

Quito:
es l.i.

Puede generalizarse este resultado, es decir, si quito una 4-upla de un conjunto y el subconjunto resulta l.i. entonces siempre puedo quitar cualquiera (siempre que su coeficiente no sea nulo) y obtener subconjuntos l.i.?

2) Al resolver por Gauss el siguiente sistema:



La última fila de la matriz ampliada resulta estar llena de ceros, ahora bien, a diferencia de un sistema cuadrado, aquí se tienen solo 3 incógnitas para 4 filas, como se interpreta entonces la última fila, que es lo que significa? En otras palabras, no veo claro como las incógnitas están apareadas con los términos independientes. Si tengo tres incógnitas para cuatro resultados, cual corresponde a cual (demás esta decir que en el ejemplo anterior todos los resultados son ceros así que no existiría ningún inconveniente pero que tal si no lo fueran? o es que este caso no podría darse y siempre resultaría una fila llena de ceros?)

[el_manco]

Holla

Puede generalizarse este resultado, es decir, si quito una 4-upla de un conjunto y el subconjunto resulta l.i. entonces siempre puedo quitar cualquiera (siempre que su coeficiente no sea nulo) y obtener subconjuntos l.i.?

Que la solución se pueda poner en función de un parámetro, quiere decir que la matriz del sistema tiene rango tres y por el subespacio generador por los cuatro vectores tiene dimensión tres. Al eliminar uno de los vectores con coeficiente no nulo, estás eliminando un vector que es combinación lineal de los demás y por tanto los restantes siguen generando un subespacio de dimensión tres y necesariamente son linealmente independientes.

2) Al resolver por Gauss el siguiente sistema:



La última fila de la matriz ampliada resulta estar llena de ceros, ahora bien, a diferencia de un sistema cuadrado, aquí se tienen solo 3 incógnitas para 4 filas, como se interpreta entonces la última fila, que es lo que significa?

Significa que una de las ecuaciones era combinación lineal de las demás, con lo cual si se verifican las demás automáticamente se verifica esa. Por tanto no aportaba ninguna restricción adicional sobre las incógnitas.

Saludos.

[gmares]

Impecable, muchas gracias!