Matriz antisimétrica

[nktclau]

Hola GENTE!! necesito una manito por favor con el siguiente ejercicio.

Si A es una matriz antisimétrica de orden impar n clasificar los siguientes sistemas lineales de ecuaciones y

Solución

Si A es una matriz antisimétrica entonces los elementos de su diagonal son ceros, y el determinante de una matriz triangular superior o inferior es cero, luego

1) ¿Si A no es inversible entonces el sistema no tiene solución?

2) ¿Estará bien concluir entonces que si A es inversible (dejando de lado que sea antisimétrica) entonces el sistema  es compatible determinado?

Puedo asegurar que si A es invrsible la única solución del sistema homogéneo es la trivial, además una sistema homogeneo jamás es incompatible, por esa razón está bien concluir que. Si A no es inversibe entonces la solución del sistema homogéneo es indeterminada.

 

GRACIAS

[pabloN]

Hola nktclau

Mi primer objeción es en este punto:

Si A es una matriz antisimétrica entonces los elementos de su diagonal son ceros, y el determinante de una matriz triangular superior o inferior es cero, luego

No entiendo esa parte. Como es antisimétrica, los elementos de la diagonal son ceros. En eso estoy de acuerdo. Después dices que el determinante de una matriz triangular superior o inferior es 0, pero eso no es cierto. El determinante de una matriz triangular es siempre el producto de los elementos de la diagonal (por la definición inductiva de determinante). Sería 0 en caso de que algún elemento de la diagonal fueran nulo, pero una matriz antisimétrica no es triangular (a menos que sea la matriz nula).

Lo que hace además que el determinante valga 0 es que es antisimétrica de tamaño con impar. De lo contrario el resultado podría no ser cierto. Piensa en:



Se cumple y sin embargo, .

Saludos

[nktclau]

Hola PabloN, escribo corto, y estoy totalmente de acuerdo con lo que dices.
Escribo corto pues desde hace por lo menos  5 horas quiero escribir , y cuando pongo "publicar" me aparece, lo siguiente y me saca

Connection Problems
Sorry, SMF was unable to connect to the database. This may be caused by the server being busy. Please try again later

A ver si ahora sube


Me dan una ayudita con lo siguiente por favor 

1) ¿Si A no es inversible entonces el sistema no tiene solución?

2) ¿Estará bien concluir entonces que si A es inversible (dejando de lado que sea antisimétrica) entonces el sistema  es compatible determinado?

Puedo asegurar que si A es invrsible la única solución del sistema homogéneo es la trivial, además una sistema homogeneo jamás es incompatible, por esa razón está bien concluir que. Si A no es inversibe entonces la solución del sistema homogéneo es indeterminada.

MUCHAS GRACIAS!!!

[aladan]

Hola

Parece que el bueno de pabloN no se fijó en el enunciado

Si A es una matriz antisimétrica de orden impar n

y como él, correctamente, dice

Lo que hace además que el determinante valga 0 es que   es antisimétrica de tamaño   con   impar

Por tanto, conforme al enunciado

     

no existe la inversa de , de manera que el sistema

                             

con el rango de creo que será incompatible porque la matriz ampliada tendrá       de rango n, aunque ahora no dispongo de la demostración.
 
El sistema homogéneo

                                  

será compatible indeterminado.

 Saludos         

[pabloN]

Hola nktclau, aladan

Parece que el bueno de pabloN no se fijó en el enunciado

Yo sí me había fijado en el enunciado. Y estaba de acuerdo con nktclau en que . En lo que discrepo con ella es en el razonamiento que le permitió llegar a esa conclusión. Ella dice que es porque el determinante de una matriz triangular vale cero. Primero, que eso no es cierto, y aunque lo fuera, no sé que estaría aplicando. ¿Que la matriz (antisimétrica) se puede descomponer como con triangular inferior y triangular superior, ambas con ceros en la diagonal? Pero el determinante de la suma de dos matrices no es la suma de sus determinantes... Y en el mejor de los casos, que toda esta cadena de implicancias erróneas fuera cierto, valdría para una matriz de cualquier tamaño, sea par o impar. Con el contraejemplo que di en mi post anterior se ve que eso no es posible.

Una manera bastante más natural de notar que se cumple es que como (por ser antisimétrica) se tiene que:

Por tanto, conforme al enunciado

     

no existe la inversa de , de manera que el sistema

                             

con el rango de creo que será incompatible porque la matriz ampliada tendrá       de rango n, aunque ahora no dispongo de la demostración.

¿Por qué ? Que implica pero a priori no sabemos exactamente cuál es el rango. Y por otra parte, ¿por qué va a ser incompatible?

Si entonces hay dos posibilidades: que el sistema sea incompatible, o bien, que sea compatible indeterminado. Va a depender en general, del vector . Por ejemplo, considera los siguientes sistemas:

Se corrobora fácilmente que el primero es incompatible y que el segundo tiene por solución el conjunto .

El sistema no puede ser incompatible (porque admite la solución trivial), entonces necesariamente ha de ser compatible indeterminado.

Saludos

PD. Nota además que es contradictorio que digas que el sistema es incompatible para todo y después que digas que es compatible indeterminado cuando  

PDD.

Escribo corto pues desde hace por lo menos  5 horas quiero escribir , y cuando pongo "publicar" me aparece, lo siguiente y me saca

Connection Problems
Sorry, SMF was unable to connect to the database. This may be caused by the server being busy. Please try again later

A ver si ahora sube

Me pasa lo mismo . Ayer entré a mi correo en la facultad y vi que habías contestado, y quise contestar antes, pero no pude por el mismo problema.

[nktclau]

Hola Aladan! , PabloN! GRACIAS MIL GRACIAS POR LA GRAN AYUDA 

Lamento la confusión

Parece que el bueno de pabloN no se fijó en el enunciado

Si A es una matriz antisimétrica de orden impar n

.....        

Hola nktclau, aladan

Parece que el bueno de pabloN no se fijó en el enunciado

Yo sí me había fijado en el enunciado....

Pues fue mi culpa por apurarme a postear, ya que el sistema estaba intermitente,  . Por tal razón no supe explicarme bien

PabloN te decía que estaba de acuerdo contigo, pues ya me había tocado demostrar que si una matriz es antisimétrica y tiene un número de filas impar entonces su determinante es cero. Pasa que en mi primer post ni lo expliqué por razón de tiempo, nada más.

Ahora saneado este inconveniente, me remito a lo cual era realmente mi problema, el enunciado decía

Si A es una matriz antisimétrica de orden impar n clasificar los siguientes sistemas lineales de ecuaciones y

Entiendo que dadas las condiciones del ejercicio entonces como dices PabloN

Si entonces hay dos posibilidades: que el sistema sea incompatible, o bien, que sea compatible indeterminado. Va a depender en general, del vector .

Tengo las dos posibilidades dependiendo de . y por otro lado los que había razonado respecto al sistema homogéneo estaba bien.


La duda que me surge es sea el sistema y es inversible, entonces el sistema es compatible determinado, siempre.

MUCHAS GRACIAS A AMBOS!!

[nktclau]

Hola PabloN sabes que




 es compatible determinado    ¿que hice mal?

es decir que también puede ser compatible determinado???


GRACIAS

[pabloN]

Hola nktclau

PabloN te decía que estaba de acuerdo contigo, pues ya me había tocado demostrar que si una matriz es antisimétrica y tiene un número de filas impar entonces su determinante es cero. Pasa que en mi primer post ni lo expliqué por razón de tiempo, nada más.

Perdón, debí haberlo aclarado. Este párrafo iba dirigido a aladan:

Yo sí me había fijado en el enunciado. Y estaba de acuerdo con nktclau en que . En lo que discrepo con ella es en el razonamiento que le permitió llegar a esa conclusión. Ella dice que es porque el determinante de una matriz triangular vale cero. Primero, que eso no es cierto, y aunque lo fuera, no sé que estaría aplicando. ¿Que la matriz (antisimétrica) se puede descomponer como con triangular inferior y triangular superior, ambas con ceros en la diagonal? Pero el determinante de la suma de dos matrices no es la suma de sus determinantes... Y en el mejor de los casos, que toda esta cadena de implicancias erróneas fuera cierto, valdría para una matriz de cualquier tamaño, sea par o impar. Con el contraejemplo que di en mi post anterior se ve que eso no es posible.

Básicamente trataba de explicar mi primer post, que en realidad no era que había leído mal la letra sino que trataba de puntualizar algunas cosas que me parecía que no estaban bien.

Tengo las dos posibilidades dependiendo de . y por otro lado los que había razonado respecto al sistema homogéneo estaba bien.

¡Sí, perdón de nuevo! ¡Me olvidé de mencionarlo! Lo que habías razonado estaba bien .

La duda que me surge es sea el sistema y es inversible, entonces el sistema es compatible determinado, siempre.

MUCHAS GRACIAS A AMBOS!!

Claro, eso es cierto. Si  es inversible, existe una matriz que se denota tal que (matriz identidad de tamaño ). Entonces si en la ecuación multiplicas a ambos miembros por llegas a que . La unicidad de esta solución se desprende de la unicidad de la matriz inversa. No es difícil probar que cuando existe , es única.

Saludos

PD. Perdón si mi mensaje anterior fue "áspero". No pretendía serlo. Esto va para los dos.

[pabloN]

Hola PabloN sabes que




 es compatible determinado   ¿que hice mal?

es decir que también puede ser compatible determinado???

¡Ufff, tengo ómnibus 16:15 y estoy en un ciber en Tres Cruces! ¡Me quedan 3 minutos! No puedo revisar mis cuentas, pero a priori te diría que compatible determinado no puede ser puesto que es antisimétrica y de tamaño (impar). Entonces el determinante es 0 y por lo tanto, no puede ser compatible determinado 

[nktclau]

Hola PabloN ¿ cómo estás? espero hayas llegado a tiempo ayer  }

No sé, que macana me habría mandado ayer, pero resolvi el sistema por Cramer, y es incompatible 

Tal cual decías tú, mil disculpas.

Un abrazo!

y MILLON DE GRACIAS  

[pabloN]

Hola PabloN ¿ cómo estás? espero hayas llegado a tiempo ayer  }

Bien, llegué justo a tiempo

No sé, que macana me habría mandado ayer, pero resolvi el sistema por Cramer, y es incompatible 

¿Cómo deduces por Cramer que es incompatible? Porque el teorema tiene por hipótesis . De todas formas, si mal no recuerdo, hay un corolario de Cramer que dice que si y existe tal que entonces el sistema es incompatible. vendría a ser la matriz resultante de cambiar la columna por el vector .

¡Saludos!

[aladan]

Yo sí me había fijado en el enunciado

Parece que interpreté mál tu respuesta, disculpa. Quizá en mi descargo me llevó a ello el contraejemplo que diste, una matriz con n=2

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

¿Por qué ? Que implica pero a priori no sabemos exactamente cuál es el rango. Y por otra parte, ¿por qué va a ser incompatible?

Si entonces hay dos posibilidades: que el sistema sea incompatible, o bien, que sea compatible indeterminado. Va a depender en general, del vector . Por ejemplo, considera los siguientes sistemas:

Se corrobora fácilmente que el primero es incompatible y que el segundo tiene por solución el conjunto .

También me precipité un poco ahí, estaba pensando en una matriz antisimétrica de orden impar en la que los únicos ceros estuvieran en la diagonal principal y aun así tienes razón que sea incompatible o compatible indeterminado dependerá de la matriz columna B,matriz no nula para difenenciar este caso del segundo propuesto por nktclau.
Pensaba en casos como los ejemplos que has puesto ambos sistemas incompatibles, si te fijas en el segundo que dices es C I, el rango de la matriz ampliada es 3 lo mismo que en el primero.

Pero de cualquier forma no válidos para generalizar una conclusión.

Saludos