Convergencia de series

[el_rafa]

Hola, estoy estudiando series y he visto diferentes criterios para poder determinar si una serie converge y, de ser posible, a qué número lo hace. Ahora bien, estoy trabado en los casos más simples donde debemos resolver cada serie sin aplicar ningún teorema o criterio. Me podrían dar una mano? Los casos que no entiendo son los siguientes:

1)

 

Sé que converge a 4, pero qué pasos debo seguir para llegar a ese resultado?

2)



De acá, al resolverlo, atomáticamente pasa al

Cómo convirtieron la primera fracción en la segunda?

3)

esto converge a

Nuevamente, qué pasos siguen para llegar a la segunda fracción?


Muchas gracias pro su ayuda, espero su respuesta! 

[pabloN]

Hola.

En todos los casos el símbolo debe ser cambiado por , de lo contrario no tendría sentido.

Por favor, corrígelo.

Saludos

Editado
PD. Lo que está tachado no es cierto. Así en el ejercicio 1) se tendría que . Pero seguramente no es lo que querías escribir. Ahora que entiendes la diferencia, agradecería mucho que lo modificaras .

[Arturo Gómez]

En la primera: como primer paso, el 8 va para afuera de la integral
Descomponemos en fracciones simples


Entonces queda una sumatoria telescópica en la que se cancelan todos los términos menos 1/2 y un infinitésimo
Luego, 8/2 =4

[el_rafa]

Hola.

En todos los casos el símbolo debe ser cambiado por , de lo contrario no tendría sentido.

Por favor, corrígelo.

Saludos

Editado
PD. Lo que está tachado no es cierto. Así en el ejercicio 1) se tendría que . Pero seguramente no es lo que querías escribir. Ahora que entiendes la diferencia, agradecería mucho que lo modificaras .

Ahí lo corregí, en primera instancia no lo coloqué así ya que no sabía poner el símbolo  

Arturo me ha ayudado con el primer ejercicio, podrías darme una pista al menos con los otros dos? gracias 

[Arturo Gómez]

La número 3 es telescópica, basta comenzar a sumarla para ver el cancelamiento de los términos.
La número 2 (serie geométrica) se resuelve aplicando una técnica similar:
Llamemos Sn a la suma de los primeros n términos, y consideremos lo siguiente

Ahí está el límite buscado.
Reemplazando el 2 por un número cualquiera r obtenemos una fórmula general, que incluso nos permite ver para qué valores de r la serie converge.

[pabloN]

Ahí lo corregí, en primera instancia no lo coloqué así ya que no sabía poner el símbolo  

Arturo me ha ayudado con el primer ejercicio, podrías darme una pista al menos con los otros dos? gracias 

Yo diría que:

En cambio:

Estoy convencido de que lo querías poner es lo segundo. Pero me interesa que tengas claro que no da igual poner cualquier índice debajo de las sumatorias. 

Saludos

[el_rafa]

Ahí lo corregí, en primera instancia no lo coloqué así ya que no sabía poner el símbolo  

Arturo me ha ayudado con el primer ejercicio, podrías darme una pista al menos con los otros dos? gracias 

Yo diría que:

En cambio:

Estoy convencido de que lo querías poner es lo segundo. Pero me interesa que tengas claro que no da igual poner cualquier índice debajo de las sumatorias. 

Saludos

Cierto, no me había percatado de eso. Muchas gracias por corregirlo!

[el_rafa]

La número 3 es telescópica, basta comenzar a sumarla para ver el cancelamiento de los términos.
La número 2 (serie geométrica) se resuelve aplicando una técnica similar:
Llamemos Sn a la suma de los primeros n términos, y consideremos lo siguiente

Ahí está el límite buscado.
Reemplazando el 2 por un número cualquiera r obtenemos una fórmula general, que incluso nos permite ver para qué valores de r la serie converge.

Disculpá que insista, pero no sé como hiciste acá


Qué propiedad o paso aplicaste para transformar en   Gracias!
 

[pabloN]

Hola

¿Sabes que si entonces y por qué se cumple esta igualdad? Pues aplicando eso, es inmediato.

Saludos

[Arturo Gómez]

Es sólo desarrollar las sumatorias.
2Sn = 1 +1/2 +1/4...+1/2^(n-1)
-Sn = -1/2 -1/4 -.... -1/2^n

Esta suma se llama de telescópica

[el_rafa]

Hola

¿Sabes que si entonces y por qué se cumple esta igualdad? Pues aplicando eso, es inmediato.

Saludos

Sí, conocía esa propiedad pero si hago




y, en cambio, esta serie converge a 1... Qué hago mal? Gracias!

[pabloN]

Sí, conocía esa propiedad pero si hago




y, en cambio, esta serie converge a 1... Qué hago mal? Gracias!

Fijate que la fórmula es . Piensa en lo que está en rojo.

[el_rafa]

Sí, conocía esa propiedad pero si hago




y, en cambio, esta serie converge a 1... Qué hago mal? Gracias!

Fijate que la fórmula es . Piensa en lo que está en rojo.

A ver...

La serie original:



empieza con , mientras que la fórmula se aplica a partir de

Es decir que, aplicando la fórmula

tengo:

y a esto le tengo que restar el primer término de la serie original, con ¿no? Quedaría

 

[pabloN]

A ver...

La serie original:



empieza con , mientras que la fórmula se aplica a partir de

Es decir que, aplicando la fórmula

tengo:

y a esto le tengo que restar el primer término de la serie original, con ¿no? Quedaría

 

Correcto .

[el_rafa]

A ver...

La serie original:



empieza con , mientras que la fórmula se aplica a partir de

Es decir que, aplicando la fórmula

tengo:

y a esto le tengo que restar el primer término de la serie original, con ¿no? Quedaría

 

Correcto .

Muchas gracias a vos a y Arturo Gómez por la ayuda!

Ah, siguiendo con las series geométricas, tengo el siguiente ejercicio:

"Un hombre decide armar el arbolito de navidad sin fin como sigue: Toma un cuadrado de lado 4 y lo divide en cuatro cuartos iguales, de uno de ellos, recorta un triángulo de base y altura igual a la longitud del cuarto de cuadrado. Ahora toma uno de los cuartos restantes, lo divide nuevamente en cuartos y recorta un triángulo de base y altura igual a la longitud del cuarto de cuadrado y así sucesivamente. Se pide modelar el problema utilizando una serie geométrica y calcular el área total de todos los triángulos que forman el arbolito. "

El área de un triángulo es . En este caso asï que tenemos

Ahora bien,

por lo que la serie quedaría así



Quedaría aplicar que una serie geometrica converge a

con y

Es correcto? O me he equivocado en algún paso? Gracias!

[el_rafa]

A ver...

La serie original:



empieza con , mientras que la fórmula se aplica a partir de

Es decir que, aplicando la fórmula

tengo:

y a esto le tengo que restar el primer término de la serie original, con ¿no? Quedaría

 

Correcto .

Muchas gracias a vos a y Arturo Gómez por la ayuda!

Ah, siguiendo con las series geométricas, tengo el siguiente ejercicio:

"Un hombre decide armar el arbolito de navidad sin fin como sigue: Toma un cuadrado de lado 4 y lo divide en cuatro cuartos iguales, de uno de ellos, recorta un triángulo de base y altura igual a la longitud del cuarto de cuadrado. Ahora toma uno de los cuartos restantes, lo divide nuevamente en cuartos y recorta un triángulo de base y altura igual a la longitud del cuarto de cuadrado y así sucesivamente. Se pide modelar el problema utilizando una serie geométrica y calcular el área total de todos los triángulos que forman el arbolito. "

El área de un triángulo es . En este caso asï que tenemos

Ahora bien,

por lo que la serie quedaría así



Quedaría aplicar que una serie geometrica converge a

con y

Es correcto? O me he equivocado en algún paso? Gracias!

Acabo de leer esta regla: "¿Temas distintos en un mismo post?
   Tratar de mantener el tema dentro de cada post de manera coherente, si necesitamos cambiar de tema lo mejor es crear un post distinto." Así que voy a crear un nuevo post  , saludos!