Busco una función positiva cuyas sumas inferiores sean 0.

[Tanius]

¡Hola!

Estoy tratando de hallar una función en acotada, que sea positiva en todos sus puntos y tal que todas sus sumas inferiores de Riemann sean cero. Para empezar, ¿existirá tal función?

Por si las dudas, recuerdo la definición de suma inferior. Si es una partición de , y es el rectángulo entonces se define la suma inferior con respecto a la partición como donde y es el área del rectángulo .

Gracias de antemano.

[pabloN]

Hola Tanius

No existe tal función. Si la suma inferior está dada por en cada sumando tienes multiplicado por (como para todo entonces el ínfimo de restringida a cada rectángulo debe ser también positivo). Pero entonces cualquier suma inferior es suma de productos de números escrictamente positivos y por lo tanto toda suma inferior ha de ser estrictamente mayor a cero. Bajo las condiciones que enuncias el problema

Estoy tratando de hallar una función en acotada, que sea positiva en todos sus puntos

no es posible siquiera encontrar una función para la cual alguna suma inferior sea cero, cuanto más que todas sus sumas inferiores sean cero.

Saludos

[Tanius]

Hmm, no te entiendo. Entiendo que dices que cada elemento del conjunto es mayor que cero. ¿Eso por qué va a implicar que el ínfimo sea mayor que cero?

[pabloN]

Los son compactos, ¿no?

Editado

PD. Ah, creí que era continua.

[Tanius]

Sí, pero la no necesariamente es continua (ello implica que tal vez no alcance sus mínimos en los rectángulos).

[pabloN]

Si la función es continua, vale lo que dije en mi primer post. Si no lo es, tiene que cumplirse . Y ésto para cualquier partición. Entonces, dado tomemos una partición tal que . Para la partición también debe cumplirse que .

[el_manco]

Hola

 Sugerencia: inspírate en la función de Riemann. Ejemplo 1.0.14 de la página 14 de estas notas:

http://mat.izt.uam.mx/notas_de_clase/medida_e_integral.pdf

Saludos.

[Tanius]

Gracias, pero no logro ver cuál es la idea. Si existiera la función que ando buscando, como dicha función la estoy buscando de manera que sea positiva en todos sus puntos, evidentemente, debe ser discontinua en cada uno de ellos, de otro modo sería fácil hallar una suma inferior de valor mayor que cero.

[Carlos Ivorra]

Considera la función tal que si es irracional y si , donde la fracción es irreducible. Yo creo que cumple lo que pides.

[el_manco]

Hola

Considera la función tal que si es irracional y si , donde la fracción es irreducible. Yo creo que cumple lo que pides.

Y añado... y compárala con la que venía el ejemplo que pretendía que te inspirase. 

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Y añado... y compárala con la que venía el ejemplo que pretendía que te inspirase. 

¡Perdón! Obviamente, no miré tu pdf.

[Tanius]

Ahh, lo siento manco, no vi bien que dijiste "inspírate". Pensé que decías que eligiera esa función tal cual.

Tengo la siguiente duda que al parecer es algo tonta. Si tomamos la función que escribió Carlos, creo que se tiene que usar un resultado parecido a esto: dado cualquier intervalo y cualquier existe un racional (irreducible) tal que .

Es eso lo que se tiene que usar, ¿no? ¿Cómo puede comprobarse ese hecho?

[pepito]

Se podría tomar un número irracional en el interior del intervalo , una sucesión de racionales que converja a ese número, y después probar por el contrarrecíproco que los denominadores de los números que conforman esta sucesión no pueden estar acotados superiormente (digamos, una sucesión de racionales cuyos denominadores están acotados superiormente, si es convergente, entonces es constante a partir de cierto término).

Es una manera. O si no, directamente tomás tal que , y , suponiendo que . (Casi sirve, pero no exactamente. Está corregida en la respuesta #17).

[Tanius]

He pensado en lo primero que dices, pero no sé cómo probarlo. Sea irracional. Sea una sucesión de racionales convergente a . Se afirma que si con entonces la sucesión es no acotada superiormente. ¿Esto por qué? Supongamos que sí fuese acotada superiormente, digamos para todo . Luego entonces . No sé si de aquí se puede contradecir algo.

Es una manera. O si no, directamente tomás tal que , y , suponiendo que .

Hmm, el problema es que debo asegurar que . Aunque tampoco veo por qué .

Un saludo y gracias, pepito.

[pepito]

Ah faltó la coprimalidad en la segunda...

Bueno, más fácil, es denso en . Si le sacás los racionales cuya escritura irreducible tiene denominador menor o igual a , estás sacando una cantidad finita de puntos. Por lo tanto, lo que queda sigue siendo denso en .

[Tanius]

¿Cómo que una cantidad finita de puntos? ¿Cómo estás contando a los racionales cuyo denominador es menor que ? 

[pepito]

Por ejemplo, si , , los racionales que eliminarías (si ) son .

[pepito]

Bueno, me voy a dormir. Lo que quería agregar después es que en realidad esta tercera forma es la primera sólo que un poco disfrazada. Pero usando esta misma idea podés probar que una sucesión de racionales cuyos denominadores están acotados superiormente, si es convergente, entonces es constante a partir de cierto término.

Y en cuanto a la segunda, se arreglaba simplemente pidiendo que sea primo en vez de un natural cualquiera. En ese caso, sólo habría problemas si es entero. Entonces uno pide en vez de y va a ser tanto como .

[Tanius]

Leeré tu respuesta con calma mañana temprano, que yo también tengo que irme a dormir. Gracias, pepito.

¡Un saludo!

[el_manco]

Hola

 La forma más rápida de probar que la función propuesta por Carlos Ivorra funciona es la que apunta pepito aquí:

Bueno, más fácil, es denso en . Si le sacás los racionales cuya escritura irreducible tiene denominador menor o igual a , estás sacando una cantidad finita de puntos. Por lo tanto, lo que queda sigue siendo denso en .

Nota que los racionales entre con denominador menor que son a lo sumo (estamos repitiendo algunos):



De hecho puede hacerse una construcción parecida que cumpla lo que pidas así. Considera una enumeración de los racionales y define



En ese caso en todos los racionales salvo en la función toma valores menores o iguales que

Saludos.

P.D. Pensando en todo esto, se me ocurrió una función todavía un poco más caprichosa. Si te aburres:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,54715.new.html#new