Equicontinuidad

[héctor manuel]

Hola. Al parecer el profesor me ha puesto más bien una lista de problemas de "contraejemplos".  No sé si haya sido su intención, pero ciertamente este enfoque de trabajo es enriquecedor.

Presento el siguiente problema:
Sea un espacio métrico completo y normado. Sea una sucesión de funciones de en .  Mostrar que el conjunto de puntos donde todas las son equicontinuas es de segunda categoría.

Comencé haciendo la demostración, y he llegado a un punto en el que necesito añadir la hipótesis de que cada es continua en , y sin esa hipótesis, no he podido terminar.

Este problema viene a ser el 4 problema de la lista que me hace pensar que dichos problemas están mal.

Buscando en la web encontré que efectivamente se pide continuidad, así que ahora me inclino por un contraejemplo.

¿Alguna ayuda?

Saludos.

[héctor manuel]

Revisemos:

Es fácil ver que si es equicontinua en , entonces es continua en .

Sea dada por

Sea .  Es claro que el único punto donde todas las son continuas es .  Por tanto . Veamos que se da la igualdad, es decir, que es equicontinua en 0.

Para ello, sea . Tomemos .

Así, si , entonces .

Por tanto, si , entonces:
a) implica que
b) implica que para todo

Esto significa que es equicontinua en 0. Por tanto

Pero , donde para todo , y , así que es nada denso para todo , y .

Por tanto es de primera categoria, de modo que no puede ser de segunda categoria.
¿Está bien?

Saludos.

[Tanius]

Pero , donde para todo , y , así que es nada denso para todo , y .

Por tanto es de primera categoria, de modo que no puede ser de segunda categoria.
¿Está bien?

Pero eso contradiría el teorema de categoría, porque es completo con la métrica de subespacio. Lo que pasa es que la cerradura y el interior los estás tomando en .

[héctor manuel]

Esa es precisamente mi duda. Es claro que es de segunda categoria en sí mismo (por Baire), pero ¿Es de primera categoria como subconjunto de ?

Saludos.

[Tanius]

Ah, sí, tienes razón. Es que yo siempre he manejado la definición de primera categoría exclusivamente para espacios métricos, no subconjuntos (en todo caso sería el subconjunto visto como subespacio). Pero, por ejemplo, en Wikipedia la definición admite que un subconjunto de un espacio métrico sea de primera categoría.

Pues dependerá de la definición que utilice el autor del problema, supongo.