Duda histórica

[chap]

Hola. Solamente una pregunta. Después de la demostración monumental ofrecida por Wiles , ¿qué importancia podría tener una demostración elemental? (Más allá del morbo centrado en discutir si Fermat pudo haberlo demostrado).

[feriva]

Hola. Solamente una pregunta. Después de la demostración monumental ofrecida por Wiles , ¿qué importancia podría tener una demostración elemental? (Más allá del morbo centrado en discutir si Fermat pudo haberlo demostrado).

Hola, Chap. A priori no se puede saber, podría implicar encontrar métodos nuevos en teoría de números o no; yo creo que, en el caso improbable de que se encontrara una demostración sencilla, sí implicaría eso en mayor o menor medida. De todas maneras, todo lo que sea encontrar métodos más rápidos y sencillos y a tiene importancia de por sí, por la propia elegancia del método, por lo que economiza en tiempo y por que más fácil de comprender y más fácil de enseñar a más gente.

Saludos.

[chap]

Hola Feriva. Comprendo que puede haber relación entre brevedad y elegancia, aunque para matematicos de la talla de Taylor y de otros que manejan con soltura las ramas avanzadas de las matemáticas, el aporte de Wiles probablemente aparezca como 180 páginas de elegancia y belleza absolutas. En este mismo subforo se intenta acercar algo de esa elegancia y de esa belleza a quienes no alcanzan con soltura ese nivel superlativo. Cuando cursaba la secundaria, en un examen con puntuación de cero a diez la profesora calificó con 6 a un compañero, siendo 7 el mínimo para aprobar. El joven le preguntó : ¿me concedería Usted el punto faltante si antes de terminar el turno le muestro una demostración del UTF? La profesora respondió que le concedería los 4 puntos que faltaban para el diez y agregaría una mención de sobresaliente. Antes del horario el joven le llevó la demostración y obtuvo el 10 con la mención. En la escuela circulaban días después los comentarios y decidí pedirle a mi compañero una fotocopia de su examen, que conservé hasta mudarme a la casa donde ahora vivo. Te aseguro que era simple y nada nuevo se aprendía leyéndola. Sea como fuere, hoy no recuerdo siquiera el nombre de ese compañero y hasta ignoro qué ha sido de él, como ignoro el paradero de la copia. Igualmente insisto, aunque pudiésemos leerla nada nuevo aprenderíamos.

[el_manco]

Hola
 
 Reconozco que no entiendo muy bien, chap, la interpretación que haces de tu historia.
 
 Si es real, apostaría todos mis ahorroos, a que la demostración del joven estaba mal. No me atrevo a asegurar sin embargo, que no se pudiese aprender algo de ella.

 Por lo demás, una demostración alternativa (esencialmente distinta) del Teorema de Fermat, tendría una importancia extrema. Si fuese sencilla más aun.  Desde el punto de vista científico, comparar y relacionar los métodos y conceptos involucrados en ambas demostraciones sería seguramente enriquecedor para las teorías que las sostienen (más allá de su aplicación anecdótica a la prueba del UFT). Desde el punto de vista histórico el Teorema de Fermat tiene tal peso, que cualquier nuevo aporte sobre el mismo tiene un impacto demoledor.

Saludos.

[chap]

Hola el_manco. La historia ocurrió en un aula de escuela, años atrás. Después de ponerla aquí en el foro me arrepentí, razonando que el 10 pudo premiar la capacidad del joven independientemente de algún error que en ese mismo momento, o días después, alguien haya descubierto. Cuando la leí no saltó ante mi vista un error evidente, pero eso no es garantía. Incluso creo recordar aproximadamente la estrategia de lo que ese compañero hizo y, en estos días, he intentado reconstruirla. Era realmente simple, aunque no tonta ni demasiado breve (no ocupaba 10 renglones solamente). Eran 3 o 4 páginas, donde reconocía primero que las tres variables numéricas (dejando de lado el exponente) para n>1 se comportan como lados de un triángulo, al que aplicaba el teorema del coseno. Después planteaba desigualdades y demostraba que el coseno del ángulo formado por los dos lados menores es menor que 1/2 para cualquier exponente mayor que 2 y eso es válido incluso cuando los lados del triángulo son reales. Después en la ecuación de Fermat despejaba y en el otro miembro factoreaba extrayendo el factor (C-B) . Hacía notar que A tiene todas las bases primas de (C-B) , aunque los exponentes que llevan esas bases en A sean distintos de los exponentes en (C-B). También tenía en cuenta que A puede tener bases primas que no están en (C-B) y las expresaba en un término que incluía en las ecuaciones. Después metía todo eso en el teorema del coseno, analizaba las consecuencias de haber múltiplos, cocientes y todo lo que hay en naturales y finalmente concluia que en naturales, para n>2 , era imposible cumplir con el coseno menor que 1/2 , pues para cumplir las exigencias de los múltiplos, las bases primas, los cocientes que daban fracciones irreducibles y primos relativos, quedaba sin remedio el coseno igual a 1/2 , lo cual es absurdo pues antes había demostrado que para  cumplir la ecuación de Fermat ese coseno debe ser menor que 1/2 .
Esa era básicamente la estrategia de lo que fue aquel intento de demostración. Pongo intento pues todos sabemos que una demostración de ese tenor es imposible para un estudiante. Pero en aquel momento obtuvo la aprobación de la profesora.

[el_manco]

Hola

 Ya he visto varios intentos de demostración del teorema de Fermat que intentan hacer intervenir triángulos y razonamientos geométricos. Sin éxito, eso si.

 Un ejemplo es este:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,15112.0.html

 En cuanto a esto:

Pongo intento pues todos sabemos que una demostración de ese tenor es imposible para un estudiante.

 No dudo de la correción de su "demostración" por que fuera un estudiante. Dudo, porque no creo que exista una demostración "sencilla" del teorema de Fermat.

Saludos.

[chap]

Hola el_manco. Tu opinión es prácticamente un teorema de la historia. Nadie agrega complejidad a un asunto sin necesidad. Los primeros intentos de demostración del UTF utilizaron los recursos más sencillos. Agotados esos, gradualmente, en forma inevitable, la complejidad de los intentos sucesivos creció, no por el amor de complicar inútilmente todo, sino porque todo lo previo había sido insuficiente. El UTF cayó cuando la sucesión histórica de intentos logró acumular el grado mínimo de complejidad necesario para la demostración. Nada más simple pudo lograrlo. Entonces tu opinión tiene un fundamento bien arraigado en la interpretación lógica del devenir histórico. ¿Cómo lo llamaríamos? ¿El efecto fotoeléctico de las demostraciones? Hasta que la luz incidente no alcanza la frecuencia mínima necesaria la fotoelectricidad no funciona.

[racedom]

CHAP: DUDA HISTORICA

Para Racedom aquí se ha dado en el clavo: ¿Qué importancia tendría hallar una solución sencillísima al UTF?
Tendría la misma importancia que si ocurriera lo siguiente: Un jugador de tercera categoría en ajedrez juega con los cien mejores ajedrecistas del mundo, en partidas simultáneas, y las gana las cien de tal modo que las cien partidas jugadas son de un nivel muy vulgar. Lo tremendo es que los cien maestros de ajedrez, en este concreto caso y con carácter exclusivo y excluyente, han jugado francamente mal. Por hipótesis no estaban hipnotizados y han jugado lo mejor que han sabido.
La consecuencia se impone: El ajedrez no ha sido nada más que mero medio para que se viera que lo prácticamente imposible ha devenido un hecho comprobable.
Aquí lo mismo: Es prácticamente imposible que exista una sencilla demostración del UTF porque de existir entonces a los matemáticos del mundo y durante tres siglos les habría ocurrido lo mismo que a los mencionados ajedrecistas.
En este caso el UTF no habría sido nada más que mero pretexto, simple anzuelo para que surgiera la pregunta: ¿Por qué ha sucedido eso?
Ciertamente eso que es imposible.
Pero no más imposible que lo que ha sucedido y que puedes comprobar por ti mismo.
Durante siglos los matemáticos han dicho:
La ecuación es verdadera si y tan solo si X, Y, Z son números irracionales.
Dicho esto, a continuación, y sin solución de continuidad dicen:
Supongamos que X, Y, Z son números naturales (que es lo mismo que suponer que un triángulo tiene ochenta y siete lados y dos ángulos, cuando ya saben que eso es falso), y como son números naturales, les aplico la estructura de la terna pitagórica y así llego al descenso infinito y, por tanto, demuestro que no son números naturales. No  llegan a ver que si no son números naturales y les aplico las operaciones de los números naturales, entonces necesariamente caminarán de error en error.
Como puedes ver estamos pura y simplemente ante una broma de Fermat, pero la comunidad matemática no ha sabido ver la broma e insiste, por activa y por pasiva, que la broma de Fermat es auténtica demostración.
Para mí CHAP has dado en la diana ya que en sí mismo el UTF es de lo más insignificante que hay en matemáticas ya que se reduce a hacer congruente la suma con el producto, en el seno de la terna, y la solución reside en que el dos es ni más ni menos que el dos: único número en donde se cumple: N+N=N.N=

Saludos.

[chap]

Hola racedom. Has planteado tu opinión claramente y eso me permite saber qué comparto de ella y en qué prefiero diferir. En este hilo hay notas de otras personas que en vez del ejemplo de los ajedrecistas se acomodarían mejor a un ejemplo de mineros profesionales que con gran tecnología detectan el oro y con gran despliegue técnico logran recogerlo, mientras miríadas de aventureros intentan túneles alternativos por donde las piedras están más flojas y se remueven fácilmente. Muy poco probablemente lleguen al oro si sus medios permiten solamente remover piedras flojas, pues en ese caso no abren un camino predeterminado. Abren el camino sinuoso y fortuito que el material flojo va poniendo delante de ellos. Y nada garantiza que el oro tenga un costado rodeado por material flojo. Un tal Fermat ha relatado que ese costado existe, sin traer ni una pepita de oro que confiera credibilidad a su relato. En el ejemplo de los ajedrecistas los profesionales quedan en ridículo. En el ejemplo de los mineros los profesionales hacen gala de toda su capacidad y los aventureros de todo su romanticismo, sin perjudicar unos la intención ni el estilo de los otros, pues no juegan el mismo juego. En ambos juegos el oro es el premio, pero son juegos distintos, con materiales de juego diferentes y reglas de juego que nada tienen en común, exceptuando el requisito de no hacer trampa. Cuando el_manco afirma que cualquier nuevo aporte sobre el UTF tiene un impacto demoledor y que por eso una demostración sencilla lo tendría, no siento que intente afirmar que Wiles en ese caso quedaría en ridículo. Aún así ni tú, ni el_manco, ni casi nadie que haya leido un poco de historia supone posible una demostración sencilla. Y esta convicción tiene consenso.

[racedom]

CHAP Y LO IMPOSIBLE

CHAP dice: No puede ser que un jugador de ajedrez de tercera categoría venza, en partidas simultáneas, a los cien mejores jugadores del mundo. Repito que no puede ser y, además, es imposible.
RACEDOM dice: Igual de imposible es demostrar ser cierto que la suma de dos cubos nos lleve a otro cubo en el seno de los números naturales.
Afirmo y demuestro.
Sea siendo A y C impares, y siendo B par.

Sea   y sea
Por el teorema fundamental de la Aritmética sabemos que todo número natural se descompone en producto de números primos y, por tanto:
         Ergo
Queda, pues, demostrado que siendo A, B, números naturales.
CHAP responde:
Sabes perfectamente Racedom que estás jugando con letras que no se corresponden con números naturales por mucho que así lo afirmes y, por tanto, no has demostrado nada de nada ya que cuando (A+B) es, por ejemplo, , entonces afirmar que es mentir y mentir a sabiendas de estar mintiendo.
RACEDOM responde así:
has no solutions with X,Y,Z all nonzero, relatively prime integers.
This implies (FLT)4
Proof: Say: ; ; with c and d relatively prime.Clearly, b is even (Y is odd, since X is even), and for we get: b=2cd; ;   , with c, d,  ,relatively prime.
Hence:. Then
; ;   whence
Note, however, that , and so we are done by infinite descent (repeated application produces an infinite sequence of solutions with ever smaller positive integer Z, a contradiction) Q.E.D.”

Aquí tienes la demostración que la comunidad matemática da por buena a lo largo y ancho del planeta y tierra y de varios siglos (desde Fermat).
Es inútil que Racedom, diga una y mil veces, que no se está argumentando con concretos números sino con meras letras, tal y como antes demostró que la suma de dos cubos nos da otro cubo.
. No hay inconveniente:

¿Desde cuando 17 es un cuadrado perfecto?

¿Desde cuando 145 es un cuadrado? Y tiene que serlo ya que si Z no es un cuadrado entonces ya nos hemos salido del teorema que exige que los tres términos estén elevados a la cuarta potencia.
, ergo y, en concreto
 ¿Desde cuando 5 y 12 son cuadrados?
Esta demostración es exactamente la misma que la de Racedom demostrando que la suma de dos cubos nos lleva a otro cubo.

PERO hay que decir una y otra vez y siempre: Racedom no sólo no tiene razón sino, lo que es más grave, no puede, no puede y no puede tenerla.
¿Por qué? Porque si tuviera razón entonces estaríamos frente al aprendiz de ajedrez ganando a los cien mejores maestros.
Como eso no puede ser y además es imposible, hay que concluir que la demostración que unánimemente tiene por buena el mundo matemático es concluyente.

Termino: Por supuesto que Fermat sabía cuando puso lo que puso que la ecuación inicial tan solo es verdadera en el campo de los números irracionales y que, por tanto, suponerlos enteros era lo mismo que suponer un triángulo con veinte lados y un ángulo.
Fue una broma. Ni más ni menos. Los supuso naturales porque así y tan solo así podía gastar la bromita del descenso infinito.

P.D: Es buena la comparación de los mineros
Nunca jamás Racedom ha pretendido ridiculizar a nadie. Simplemente presentar un hecho aunque ese hecho sea un imposible,


Saludos.

[chap]

Hola Racedom. Me abrió los ojos tu crítica de lo hecho tradicionalmente para  . Se demuestra solamente que hay incompatibilidad entre esa ecuación y las propiedades de los naturales. ¿Es esa incompatibilidad garantía de que no existe ni una terna de naturales que la cumpla? Si esta pregunta expresa tu crítica podemos suponer que te he entendido. De paso agrego que el intento de demostración hecho por ese antiguo compañero mio estaba destinado a lo mismo, es decir a poner en evidencia la incompatibilidad de la ecuación    con las propiedades de los naturales. Tal vez sea lo único asequible cuando un teorema declara la inexistencia de algo dentro de un contexto.

[feriva]

Existe una forma de que una persona que ni siquiera sepa jugar al ajedrez gane al menos una partida simultánea o acabe en tables; siendo más probable lo primero. Supongamos que juega dos simultáneas; basta que elija jugar una de las partidas con negras y otras con blancas. Va al tablero en el que juega con negras y observa la jugada de inicio de su contrincantes, después va al tablero en el que juega con blancas y utiliza la misma apertura que el rival del otro tablero. De esta forma, en realidad, lo que ocurre es que él no juega, juegan los otros dos, él es un mero "muevefichas" que sólo tiene que copiar los movimientos. Si gana cualquiera de sus rivales, él habrá ganado una de las partidas, si acaba en tablas, el habrá hecho tablas.

Saludos.

[racedom]

DIALOGANDO CON CHAP

Dado que tan solo me has entendido en parte, debo concluir que no me he expresado con la necesaria claridad.
Mí crítica a la demostración admitida (por medio del descenso infinito) para la cuarta potencia es una crítica, total, absoluta, sin fisuras.
PRIMERO.
¿Qué es demostrar? Demostrar es recorrer un camino que va de A a B siendo A el punto de partida y siendo B la meta a la que se pretende llegar. Si partiendo de A simplemente se afirma B, entonces no hay demostración.
Dice así la comunidad matemática: Si por hipótesis es terna pitagórica, entonces   es también, por hipótesis, terna pitagórica. Ahora bien, al tener la misma estructura y ser menor, estamos frente al descenso infinito y por tanto queda demostrada la falsedad de la hipótesis.
Dice así Racedom: Eso es simple afirmación ya que lo que hay que demostrar es que HAY CAMINO que va de a . Si no existiera tal camino entonces ni tan siquiera existiría  . No vale afirmar que existe como procedente de . Eso, precisamente eso, es lo que hay que demostrar.
¿Existe el camino que enlace ambas ecuaciones? La respuesta es obvia: La condición necesaria y suficiente para que exista tal camino es que la ecuación inicial sea auténtica terna pitagórica. Si y tan solo si es terna pitagórica existe el camino que daría origen a  . Si no fuera terna pitagórica, entonces no es que no lo fuera (este es el sofisma oculto) sino que ni tan siquiera existiría tal ecuación en cuanto procedente de la primera. No habría ecuación a la que poder aplicar el descenso infinito. No vale dar por existente dicha ecuación para así aplicarle el descenso infinito. Se da por demostrado precisamente lo que hay que demostrar: La existencia de la ecuación precisamente cuando no es terna pitagórica. Puro y duro absurdo.
SEGUNDO.-
Acabamos de ver que no hay descenso infinito porque no existe la ecuación a la que podérsela aplicar.
PERO supongamos que existiese tal ecuación como procedente de la primera. No existe, como hemos visto, pero supongamos que existe.
¿Qué diría entonces Racedom? En ese supuesto Racedom diría: Se ha demostrado que la ecuaciones de estructura no son terna pitagórica aunque lo parezcan.
Y seguiría diciendo: ¿Qué, ¡coño! tiene eso que ver con el teorema de Fermat concretado en la cuarta potencia?
Porque, claro, lo decisivo, la esencia de la demostración es la estructura: Suma de dos cuartas potencias igualadas a un cuadrado. Repito, igualadas a un cuadrado y nada más que a un cuadrado. No nos podemos salir de esa estructura ya que si nos salimos de esa estructura ya no puedo llegar a la misma estructura que me permite aplicar el descenso infinito.
Tengo, pues, que permanecer siempre en este estructura:
; ; ............
Lo repito: Si me salgo de esta estructura me he salido de la demostración que se está dando.
¿Qué ocurre si en la ecuación , Z fuera un cuadrado? Ocurre que ya me he salido de la estructura y, por tanto, de la demostración que se nos da.
¿Dónde el sofisma? Dejar que el lector piense que como tan solo se exige a X, Y, Z el que sean coprimos, entonces pueden ser cualquier número y entre ellos potencias y, por tanto, la demostración se cumple para cualquier valor de Z (y se deja que sea el lector el que se diga a sí mismo: También cuando Z es un cuadrado).
Por supuesto que en la demostración tan solo se dice: Esto implica (FLT)4 sin más. Y es que no se puede explicitar que Z sea un cuadrado porque entonces ya nos hemos cargado la demostración al cargarnos su esencial estructura. 
TERCERO.
¿Dónde ve Racedom el fallo más grave, garrafal, de suspenso para el simple bachiller?
Lo ve en aplicar a una hipótesis la propia hipótesis. ¡Qué absurdo!
¿Acaso no existe el método del descenso infinito? Claro que sí existe y se aplica con propiedad en la demostración del pequeño teorema de Fermat.
. Siendo p=número primo.
Tenemos que, por hipótesis, 
Desarrollando el Binomio de Newton:

Ergo .
Hemos llegado al descenso infinito.
¿Acaso aplicando a la hipótesis la propia hipótesis? ¡Absit! Simplemente desarrollando el binomio de Newton que es operación que nada tiene que ver con la hipótesis. Así como cuando Euclides igualó una fracción a la raíz cuadrada del dos, elevó ambos miembros al cuadrado que es operación que nada tenía que ver con la hipótesis.

P.D.: Ten cuidado CHAP con darme la razón ya que en ese caso, hipotético of course, serías el primero en el mundo en hacerlo y estarías haciendo algo grave, gravísimo: Ir contra lo que sostiene la comunidad matemática durante más de un siglo y a lo largo y ancho de toda la tierra.
Pretender que toda la comunidad matemática haya cometido errores tan burdos es algo más improbable que la improbabilidad de que un jugador de ajedrez de tercera categoría gane en simultáneas a los cien mejores jugadores de ajedrez del entero mundo.

Saludos.