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Autor Tema: Demostrar desigualdad sin inducción  (Leído 540 veces)
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Itachi
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« : 10/02/2012, 12:49:41 pm »

Hola, necesito demostrar esto: [texx][(n+1)!]^n(2n+2)!\geq [(n+2)!]^{n+1}[/texx] sin usar inducción.
Aclaro que [texx]n\in{}\mathbb{N}[/texx]
Desde ya, gracias.
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« Respuesta #1 : 10/02/2012, 01:11:31 pm »

Hola, necesito demostrar esto: [texx][(n+1)!]^n(2n+2)!\geq [(n+2)!]^{n+1}[/texx] sin usar inducción.
Aclaro que [texx]n\in{}\mathbb{N}[/texx]
Desde ya, gracias.

Hola. Unas pistas:

[texx](n+1)!=n!(n+1)[/texx] y [texx](n+2)!=n!(n+1)(n+2)[/texx]

Por otra parte, dado cualquier número "a" se tiene [texx]a^{n+1}=a^n\cdot a[/texx]

Saludos.
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Itachi
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« Respuesta #2 : 11/02/2012, 02:31:14 am »

Bueno, hago unos pasos más...
Yo sé que:[texx](2n+2)!=(2n+2)(2n+1)\ldots (n+2)(n+1)![/texx]
Sigo un poco más:

[texx][(n+1)!]^n(2n+2)!&\geq&[(n+2)!]^{n+1}[/texx]
[texx][(n+1)!]^n(2n+2)(2n+1)\ldots (n+2)(n+1)!&\geq&[(n+2)!]^{n+1}[/texx]
[texx][(n+1)!]^{n+1}(2n+2)(2n+1)\ldots (n+2)&\geq&[(n+2)(n+1)]^{n+1}[/texx]
[texx][(n+1)!]^{n+1}(2n+2)(2n+1)\ldots (n+2)&\geq&(n+2)^{n+1}[(n+1)]^{n+1}[/texx]
[texx](2n+2)(2n+1)\ldots (n+2)&\geq&(n+2)^{n+1}[/texx]
[texx](2n+2)(2n+1)\ldots (n+2)&\geq&(n+2)^n(n+2)[/texx]
[texx](2n+2)(2n+1)\ldots (n+3)&\geq&(n+2)^n[/texx]

Bueno me quedé ahí.
¿Me pueden ayudar con esto: [texx](2n+2)(2n+1)\ldots (n+3)&\geq&(n+2)^n[/texx]?

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Gustavo
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« Respuesta #3 : 11/02/2012, 03:06:59 am »

¿Me pueden ayudar con esto: [texx](2n+2)(2n+1)\ldots (n+3)&\geq&(n+2)^n[/texx]?

Fíjate que

[texx]\begin{align*}n+2 &\le n+3 \\ n+2 &\le n+4 \\ &\vdots \\ n+2 &\le 2n+1 \\ n+2 &\le 2n+2 \end{align*}[/texx]

y usa el hecho que si [texx]0\le a\le b[/texx] y [texx]0\le c\le d[/texx], entonces [texx]ac\le bd[/texx].
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Itachi
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« Respuesta #4 : 11/02/2012, 02:39:25 pm »

Miren, no quería pero lo voy a probar por inducción, no quería porque ese problema salía de otra inducción. Pero no importa.

Observen que:[texx]\displaystyle\prod_{i=3}^{n+2} (n+i)=(n+3)\ldots (2n+1)(2n+2)[/texx]

Voy a probar por inducción:[texx]P(n):\displaystyle\prod_{i=3}^{n+2} (n+i)\geq (n+2)^n[/texx]

Empiezo

¿La proposición [texx]P(1)[/texx] es verdadera? Sí, pues.

[texx]\displaystyle\prod_{i=3}^{3} (n+i)=(n+3)\geq (n+2)^1[/texx]


Ahora el paso inductivo: Supongo [texx]P(n)[/texx] y quiero probar que:

[texx]P(n+1):\displaystyle\prod_{i=3}^{n+3} (n+i)\geq (n+2)^{n+1}[/texx]

[texx]\displaystyle\prod_{i=3}^{n+3} (n+i)=[\displaystyle\prod_{i=3}^{n+2} (n+i)](2n+3)\geq (n+2)^n (2n+3)[/texx]

Ahora quiero ver que:[texx](n+2)^n (2n+3)\geq (n+2)^{n+1}[/texx]

[texx]{\cancel{(n+2)^n} (2n+3)\geq {\cancel{(n+2)^n} (n+2)[/texx]
[texx]2n+3\geq n+2\Longleftrightarrow{n\geq -1}[/texx] y esto es cierto porque [texx]n\in{} \mathbb{N}[/texx]

Bueno esto prueba todo lo anterior.

Revicen si está bien.
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