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Autor Tema: Demostración de desigualdad  (Leído 463 veces)
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darnell
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« : 14/02/2012, 04:16:28 pm »

Hola a todos! Tengo un pequeño problemilla. Debo demostrar que : [texx] \dfrac{1+\left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|} {1-\left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|}>0[/texx] en el intervalo [texx](-1,1)[/texx]

Lo que he hecho ha sido: [texx] \dfrac{1+\left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|} {1-\left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|}>0\Leftrightarrow 1-\left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|>0\Leftrightarrow \left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|<1\Leftrightarrow |1-xy|>|y-x|\Rightarrow [/texx]
[texx]\Rightarrow -|1-xy|<y-x<|1-xy| [/texx]

Llegado a este punto me he encallado, no sé cómo acabar de demostrarlo.

Muchas gracias.
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pierrot
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« Respuesta #1 : 14/02/2012, 04:40:10 pm »

Hola

¿A qué te refieres exactamente con que la igualdad es válida en el intervalo [texx](-1,1)[/texx]? Si fuera [texx](-1,1)^2[/texx] interpreto que es [texx]x\in (-1,1)[/texx] e [texx]y\in (-1,1)[/texx] pero así como está planteado es un tanto ambiguo.
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darnell
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« Respuesta #2 : 14/02/2012, 06:49:28 pm »

si, se refiere exactamente a eso: [texx](x,y)\in(-1,1)^{2}[/texx]
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pierrot
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« Respuesta #3 : 14/02/2012, 08:22:38 pm »

Observa que [texx]\left| \dfrac {y-x} {1-xy}\right|<1\Leftrightarrow{}-1<\dfrac {y-x} {1-xy}<1[/texx]. Esto se cumple si y sólo si se verifican simultáneamente las dos condiciones siguientes:

1) [texx]\dfrac {y-x} {1-xy}<1\Longrightarrow{}[/texx] Sea [texx]D_1[/texx] el conjunto solución de esta inecuación.

2) [texx]-1<\dfrac {y-x} {1-xy}\Longrightarrow{}[/texx] Sea [texx]D_2[/texx] el conjunto solución de esta inecuación.

Entonces se tiene que [texx]\left |{\dfrac {y-x} {1-xy}\right|}\right |<1[/texx] si y sólo si [texx](x,y)\in D=D_1\cap{}D_2[/texx]. Muestra que [texx](0,1)^2\subseteq{}D[/texx].

Saludos
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darnell
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« Respuesta #4 : 16/02/2012, 03:33:46 pm »

Me ha salido usando lo que me has dicho. Me da que [texx](x,y)\in(-1,1)^{2}[/texx], lo cual verifica lo que nos pedían.

Gracias.
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