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Autor Tema: Ayuda con inducción.  (Leído 637 veces)
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Itachi
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« : 22/02/2012, 12:14:09 am »

Hay que probar: [texx]P(n):\displaystyle\prod_{i=1}^n \displaystyle\frac{n+i}{2i-3} = 2^n (1-2n)[/texx]

[texx]P(1)[/texx] es verdadera, basta hacer la cuenta.

Tengo el problema cuando suponiendo [texx]P(n)[/texx], quiero probar [texx]P(n+1):\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1} \displaystyle\frac{n+1+i}{2i-3}= 2^{n+1} (-2n-1)[/texx]

No sé como de [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1} \displaystyle\frac{n+1+i}{2i-3}[/texx] hacer aparecer la hipótesis inductiva (HI), que es [texx]P(n)[/texx]
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pierrot
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« Respuesta #1 : 22/02/2012, 12:56:58 am »

Hola.

En el paso inductivo la hipótesis es que [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n \displaystyle\frac{n+i}{2i-3} = 2^n(1-2n)[/texx] y se debe probar: [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1} \displaystyle\frac{n+1+i}{2i-3} = 2^{n+1} [1-2(n+1)][/texx].

Ten en cuenta que asumir [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n \displaystyle\frac{n+i}{2i-3} = 2^n (1-2n)[/texx] es lo mismo que asumir:

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{(2i-3)}=\frac{\displaystyle\frac{(2n)!}{n!}}{2^n(1-2n)}[/texx]

Ahora usa que [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1} \displaystyle\frac{n+1+i}{2i-3}=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\left(\frac{n+1+i}{2i-3}\right)\cdot \frac{2(n+1)}{2n-1}[/texx] y que [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle \frac{n+1+i}{2i-3}=\frac{\frac{(2n+1)!}{(n+1)!}}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{(2i-3)}}[/texx]. Finalmente aplica la hipótesis inductiva para sustituir en el denominador y simplifica.


Saludos
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« Respuesta #2 : 22/02/2012, 01:01:36 pm »


Gracias por tu respuesta, pero no entiendo lo siguiente:


Ten en cuenta que asumir [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n \displaystyle\frac{n+i}{2i-3} = 2^n (1-2n)[/texx] es lo mismo que asumir:

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{(2i-3)}=\frac{\displaystyle\frac{(2n)!}{n!}}{2^n(1-2n)}[/texx]


Para mí, no es muy evidente que esas expresiones son equivalentes.
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« Respuesta #3 : 22/02/2012, 01:34:38 pm »

Hola

Considera que [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n \displaystyle\frac{n+i}{2i-3}=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n (n+i)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n (2i-3)}[/texx] y además:

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n (n+i)=(n+1)(n+2)\cdots (2n-1)(2n)=\frac{(2n)!}{n!}[/texx]

Saludos
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« Respuesta #4 : 22/02/2012, 05:40:29 pm »


Considera que [texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n \displaystyle\frac{n+i}{2i-3}=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n (n+i)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n (2i-3)}[/texx] y además:

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^n (n+i)=(n+1)(n+2)\cdots (2n-1)(2n)=\frac{(2n)!}{n!}[/texx]


Gracias, me gustó esa explicación. :cara_de_queso:
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