Polinomios

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kari:
¿Podrían sacarme las raíces de este polinomio que no me sale?

Ked:
Hola.

Antes de todo, supongo que estás familiarizada con la división de polinomios, esquema de Ruffini, y algo de números complejos.

Lo primero, sería escribir el polinomio "ordenado", de mayor a menor grado:



Luego busca raíces evidentes.
La suma de los coeficientes da 0 => 1 es raíz
La suma de los coeficientes impares y pares es la misma => -1 es raíz

Ahora, bajas el polinomio original usando el esquema de Ruffini, primero lo divides entre x-1 y luego entre x+1. Quedará el siguiente polinomio:

Este ya no tiene más raíces evidentes, pero se puede aplicar el teorema de la raíz racional (o simplemente tantear). Evidentemente x=7 es raíz.

Entonces, bajamos nuevamente el polinomio dividiéndolo entre x-7. Nos queda:


Este polinomio no tiene raíces reales, pero sus raíces complejas son fácilmente obtenibles, al ser las raíces cuartas de la unidad. Te voy a enseñar un truco para factorizarlo en dos polinomios cuadráticos, para que puedas hallar las raíces sin necesidad de usar conceptos de números complejos.

Primero, escribimos el polinomio
Vamos a completar el cuadrado, tenemos que . En este caso a seria y b sería 1. Por lo tanto sumamos y restamos .



Ahora un truco más, escribimos el como para tener algo de la forma que como debes saber, se factoriza a (binomio conjugado).



Concluyendo:
(creo haber leido por ahi que esta "trivialidad" se conoce como identidad de Sophie Germain).

Solo te queda sacar las raíces de ambos polinomios cuadráticos, y esto lo sabes hacer ;)


Saludos.

aladan:
Hola a todos:

Cita

Entonces, bajamos nuevamente el polinomio dividiéndolo entre x-7. Nos queda:

Este polinomio no tiene raíces reales, pero sus raíces complejas son fácilmente obtenibles, al ser las raíces cuartas de la unidad. Te voy a enseñar un truco para factorizarlo en dos polinomios cuadráticos, para que puedas hallar las raíces sin necesidad de usar conceptos de números complejos.

Creo que puede ser conveniente que kari no piense que el uso de complejos es un fantasma del que hay que huir, estoy seguro que no era la intención de Ked, por lo que he pensado continuar el problema en este punto, utilizando complejos.

Tenemos
                   

Dando valores a k, de 0 a 3, tenemos las cuatro raices del polinomio de 4º grado, simplemente pasando el complejo i a forma polar y recordando que la raiz enesima de un complejo de la forma
                               
                                                           

es
                             

donde K toma los valores 0 a (n-1)

Saludos

Jabato:
Como verás trabajar con polinomios tiene muchos trucos, muchos de los cuales se han puesto de manifiesto en la solución de Aladan, aunque yo te mostraré algunos más:

Separa los 8 sumandos del polinomio en dos grupos, los 4 primeros y los 4 últimos, de forma que puedes ahora facilmente sacar un factor común que es percisamente la suma de los 4 últimos terminos del polinomio original:

P(x) = x4(x³ - 7x² - x + 7) + x³ - 7x² -x + 7 = (x4 + 1)(x³ - 7x² - x + 7)

polinomio en el que para el segundo factor puedes volver a repetir el proceso, lo que te conduce a:

P(x) = (x4 + 1)(x² - 1)(x - 1)

cuya solución coincide por supuesto con la de Aladan.

Puedes hacer cosas parecidas utilizando los términos pares y los impares que en este caso también funciona:

P(x) = x(x6 - x4 + x2 - 1) - 7x6 + 7x4 - 7x² + 7 = (x - 7)(x6 - x4 + x2 - 1)

siendo además en este caso que el segundo factor se convierte en un polinomio de grado 3 si consideramos que la variable es ahora x² ya que solo tiene términos pares (es como los polinomios bicuadrados, pero bicúbico en este caso).

En fin, como verás no suele resultar dificil, aunque solo son trucos porque no funcionan siempre, claro.

Cuando los polinomios tienen raíces enteras ó racionales, como es el caso, hay muuuuchos trucos para obtener una ó varias raices, sino todas, lo que te simplifica el problema muchas veces sin más que ir usando Rufini a medida que vayas encontrando soluciones.

Incluso cuando los polinomios son de tercer y cuarto grado como máximo existen métodos generales que permiten obtener sus raíces en todos los casos posibles, de forma parecida a lo que pasa con los polinomios de 2º grado, aunque resultan bastante complejos dichos métodos para ser explicados aquí, pero puede hacerse.

Saludos, Jabato.

Ked:
Me gustó esa forma de factorizar, la verdad nunca se me había ocurrido ;)
Soy fiel seguidor de Ruffini :P

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