Propiedad arquimediana

[Fernando Díaz]

Hola.

No he podido con el siguiente ejercicio, espero que me puedan sugerir que hacer.

Sí , demostrar que existe tal que .

Lo que he pensado es hacerlo por contradicción, es decir suponer que y , pero entonces tenemos dos casos; cuando y , y no sé que más hacer... Pensaba también como utilizar el principio del buen orden...

Gracias.

[héctor manuel]

Has dado con la parte entera de un número?

En ese caso, nota que

Saludos.

[Fernando Díaz]

Has dado con la parte entera de un número?

En ese caso, nota que

Hola, gracias por tu sugerencia, pero no he visto parte entera aún.
Lo único es el principio del buen orden, inducción matemática y la axiomatización de .
Gracias de nuevo.

[Phicar]

Hola

Usa la tricotomia

Cuando pues m=1
cuando   haces a y sale facil probar que (pues si haces a>1..mm deberías primero sacar los casos en que alguno de ellos sea 1)
y cuando a<b ahi si por contradiccion Supon que para todo m se tiene que en particular para m=b luego
luego Ahi te salen dos casos o (contradiccion) o ( Aca, antes de entrar a la contradiccion, tendrias que tener algo para cuando a=1 y pues el m que tendrias que cojer es el sucesor de b)
Si a es menor que 1 ya esta la contradiccion...

[Fernando Díaz]

Usa la tricotomia

Cuando pues m=1
cuando   haces a y sale facil probar que (pues si haces a>1..mm deberías primero sacar los casos en que alguno de ellos sea 1)
y cuando a<b ahi si por contradiccion Supon que para todo m se tiene que en particular para m=b luego
luego Ahi te salen dos casos o (contradiccion) o ( Aca, antes de entrar a la contradiccion, tendrias que tener algo para cuando a=1 y pues el m que tendrias que cojer es el sucesor de b)
Si a es menor que 1 ya esta la contradiccion...

Gracias.

[Tanius]

Has dado con la parte entera de un número?

Es que para demostrar que la parte entera de un número real existe requieres de la propiedad arquimediana 

De todos modos, el problema en sí no es la propiedad arquimediana, sino que está bastante debilitado. Una versión mucho más fuerte sería: si con entonces existe tal que . Y la prueba sería usando el axioma del supremo. En esta versión más débil es suficiente con lo que dijo Phicar.

[argentinator]

En realidad estoy de acuerdo con que sí se trata de la Propiedad Arquimediana.

Lo que pasa es que la Propiedad Arquimediana se puede enunciar en cualquier contexto donde se tenga un conjunto X, con una relación de orden <, y tal que además sea posible definir de alguna manera un producto de elementos de X por números enteros positivos.

Bastaría por ejemplo que X tenga asociada una operación de suma +, que ni siquiera tenga propiedades algebraicas relevantes, salvo quizá la ley asociativa y la monotonía respecto la relación de orden <.

Pero es posible abstraerse un poco más posiblemente y no pedir siquiera eso.

En tal caso, se puede hablar de si "vale o no" la Propiedad Arquimediana.

El problema se puede plantear así, en abstracto.

____________

Así, en el conjunto de los enteros positivos se puede plantear la cuestión de si vale o no la propiedad arquimediana, y la respuesta es que sí, y además esto se puede demostrar, o sea, es un Teorema.

Basta tomar m = 2b (si es que hablamos de enteros positivos solamente).

Para números enteros, racionales, o reales, la cosa ha de modificarse un poco en cada caso.

Saludos