Demostración sobre la holomorfía de una función compleja

[Dydra]

Hola. Estoy teniendo para demostrar lo siguiente y quería saber si alguien puede ayudarme:

Sea una función de clase que cumple

1.  

2. es una función analítica

Demostrar que  es una función analítica


La notación expresa:



No expresa:

Gracias por su tiempo.
Dydra

[HernanV]

Hola,

1) La primer condición no sirve para nada.

2) Composición de funciones analíticas es analítica. La función es entera, por ende para que sea analítica, tiene que ser F analítica.

Saludos.

PD: Sólo como curiosidad, ¿de dónde sacaste el ejercicio?. Es "tonto" poner que una función compleja es de clase .

[Dydra]

Es un ejercicio de final.
No creo entender tu respuesta. Para que componer la función? El " " indica que se trata de la derivada segunda de F respecto de z, no de la función elevada al cuadrado.

[Carlos Ivorra]

Hola,

1) La primer condición no sirve para nada.

2) Composición de funciones analíticas es analítica. La función es entera, por ende para que sea analítica, tiene que ser F analítica.

Saludos.

PD: Sólo como curiosidad, ¿de dónde sacaste el ejercicio?. Es "tonto" poner que una función compleja es de clase .

El problema no es trivial. Imagina que F es la conjugación compleja. Es una función de clase y compuesta con ella misma es la identidad, luego es analítica, pero la conjugación no es una función analítica. Esto no desmiente el enunciado, porque no cumple la propiedad 1), pero muestra que no es trivial.

[Dydra]

Nuevamente, la notacion expresa:



No expresa:

[Carlos Ivorra]

Nuevamente, la notacion expresa:



No expresa:

Ah, perdón. Es verdad que lo habías dicho. No he dicho nada.

[HernanV]

@Dydra: Entonces se escribe o bien .

@Carlos: Realmente no te entiendo del todo. Si , entonces F no es analítica en ningún punto. No entiendo por qué decís que es de clase . Además, si conjugas una función no analítica consigo misma, el resultado no tiene por qué ser analítico (o sí, no es el punto).

Creo que todo viene a colación de que comprendí como potencia lo que supuestamente era derivada.

EDIT: Me ganaron de mano.

[Carlos Ivorra]

@Dydra: Entonces se escribe o bien .

@Carlos: Realmente no te entiendo del todo. Si , entonces F no es analítica en ningún punto. No entiendo por qué decís que es de clase . Además, si conjugas una función no analítica consigo misma, el resultado no tiene por qué ser analítico (o sí, no es el punto).

Creo que todo viene a colación de que comprendí como potencia lo que supuestamente era derivada.

EDIT: Me ganaron de mano.

Ojo, la conjugación compleja no es analítica, pero es de clase como función de en sí mismo.

@Dydra: ¿Seguro que la notación representa la derivada segunda? Es que entonces el problema sí que es tonto del todo, porque si dices que la función tiene derivada en todos los puntos, ya estás diciendo que es analítica.

Yo apostaría a que representa la potencia, como ha entendido HernanV, o la composición, como había entendido yo (y que la condición de ser se refiere a la función vista como función de dos variables reales).

[HernanV]

Era exactamente lo que iba a decir. A mi me sigue pareciendo trivial el problema.

[Carlos Ivorra]

Era exactamente lo que iba a decir. A mi me sigue pareciendo trivial el problema.

Sí, sí. Entendiendo el dos como derivada segunda es trivial.

[Dydra]

El enunciado esta tal cual en el examen.

Yo lo estaba planteando de la siguiente manera:

Al decir que es analitica esta queriando decir que las derivadas 3ras de las funciones u y v (tal que cumplen el teorema de Cauchy-Riemann.

El dato de que indica que las derivadas segundas cruzadas son iguales.

Intente plantear un sistema de ecuaciones que lleve a que
a) u y v son armónicas (junto con el dato de justifican F analítica
b) u y v cumplen Cauchy-Riemann

No pude llegar a nada... cuando dicen que es trivial, como lo resuelven?

No plantee que  ... no me parecio que el problema apuntara a eso, pero ahora que lo mencionan, el dato de la derivada segunda tampoco apunta a mucho...

[HernanV]

De la fórmula integral de Cauchy generalizada, se deduce que las derivadas de todo orden de una función analítica son analíticas.

Sigo sin entender la notación . ¿Derivadas cruzadas iguales?. ¿Hablas de u(x,y) y v(x,y)?.

[Dydra]

Eso me permite afirmar que si una función tiene una derivada de orden n analítica el resto de sus derivadas incluida la de orden n=0 son analíticas?

[HernanV]

Eso te permite afirmar que si una función tiene 1 derivada analítica (no interesa el orden), entonces todas sus derivadas de todo orden son también funciones analíticas.

[Carlos Ivorra]

El enunciado esta tal cual en el examen.

¿Pero estás seguro del significado del dos?

Yo lo estaba planteando de la siguiente manera:

Al decir que es analitica esta queriando decir que las derivadas 3ras de las funciones u y v (tal que cumplen el teorema de Cauchy-Riemann.

Con esto presupones que existe la derivada (compleja) en todo punto, y eso puedes incluso tomarlo como definición de función analítica. (Si defines función analítica de otro modo, es equivalente a la existencia de la derivada compleja en todo punto.) Por eso el problema es trivial.

No plantee que  ... no me parecio que el problema apuntara a eso, pero ahora que lo mencionan, el dato de la derivada segunda tampoco apunta a mucho...

Si interpretas el 2 como potencia es fácil, porque toda función analítica que no se anula tiene una raíz cuadrada, pero lo sospechoso es que sólo hace falta usar que F es continua, no hace falta pedir . Por eso sigo pensando que la interpretación más natural es la que yo había hecho: entender que el 2 indica composición consigo misma. Ahí no sabría resolverlo, pero no hay ninguna hipótesis redundante y, si es cierto, no es trivial.

[Dydra]

@HernanV: tendras algun link o referencia al teorema?

@Carlos Ivorra: dudo que sea la composición consigo misma... ese tipo de notación no se utilizo durante el curso en ningún momento. No entiendo el argumento de que toda función analítica tiene una raíz cuadrada y por eso puedo justificar...


pd: gracias a ambos por tomarse la molestia de ayudarme

[HernanV]

No hay por qué. Si buscas en google "fórmula integral de Cauchy" aparecen varios resultados interesantes.

[Dydra]

Acabo de llegar a la sig. conclusión:

1- El dato de que F no es nula en ningun z permite escribir a F como F(z). De lo contrario, si F tomara el valor 0 en para algun z0 se la podria escribir asi: de tal forma que G no es 0 para ningun z.

2- Del dato de la derivada segunda, puedo sacar a partir de la formula integral de Cauchy y de que F no se anula en ningún punto de que la función es analítica.


Muchas gracias por su tiempo. Si apruebo el final les haré saber.
Saludos,
Dydra

[Carlos Ivorra]

Si , entonces existe una función analítica tal que , para todo z. Las funciones son dos raíces cuadradas analíticas de F.

Aplicamos eso a la función (entendida como potencia) y obtenemos una función analítica tal que para todo z. No es trivial, pero usando que ambas funciones son continuas tiene que salir que , con lo que es analítica.

[Carlos Ivorra]

Acabo de llegar a la sig. conclusión:

1- El dato de que F no es nula en ningun z permite escribir a F como F(z).

No entiendo. F es una función F(z). ¿Qué quieres decir?

De lo contrario, si F tomara el valor 0 en para algun z0 se la podria escribir asi: de tal forma que G no es 0 para ningun z.

Eso no es cierto. Si toma el valor 0 en y no es idénticamente nula, la puedes escribir como de modo que G no es cero en (pero puede anularse en otros puntos).

2- Del dato de la derivada segunda, puedo sacar a partir de la formula integral de Cauchy y de que F no se anula en ningún punto de que la función es analítica.

Insisto en que del mero hecho de que supongas la existencia de para todo z ya puedes deducir directamente que F es analítica, sin más hipótesis.