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Lorefran

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Integral por definición y particiones

« : 23/01/2012, 02:08:06 pm »

Necesito calcular $\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x$ utilizando la caracterización de integral de Riemann.
Además debo usar una partición de n-1 intervalos para [1, e].

Ojalá me pudieran ayudar, buen día para todos


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Fernando Revilla

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Re: Integral por definición y particiones

« Respuesta #1 : 23/01/2012, 05:55:19 pm »

Primer paso: La longitud de cada intervalo ha de ser

. La partición correspondiente es por tanto: $1,\quad 1+\displaystyle\frac{e-1}{n-1},\quad 1+2\cdot \displaystyle\frac{e-1}{n-1},\quad \ldots,\quad 1+(n-1)\cdot \displaystyle\frac{e-1}{n-1}=e$


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I have sometimes thought that the profound mystery which envelops our conceptions relative to prime numbers depends upon the limitations of our faculties in regard to time, which like space may be in essence poly-dimensional (J.J. Sylvester).

Dynamic processes associated with natural numbers characterize at least one arithmetic statement with temporal singularity (Fernando Revilla)

pabloN

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Re: Integral por definición y particiones

« Respuesta #2 : 23/01/2012, 06:11:40 pm »

Hola, creo que la dificultad de este problema es elegir una partición conveniente.

Para cada $n\geq 2$ , definamos la partición $\displaystyle P_n=\{x_i\}_{0\leq i\leq n-1}:\ x_i=e^{\frac{i}{n-1}}$ . Ahora consideremos la suma superior $U(P_n,\ln(x))=\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{i-1})\cdot \sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}\{\ln(x)\}$ . A nosotros nos interesa:

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{i-1})\cdot \sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}\{\ln(x)\}=\int_1^e \ln(x)\ dx$

Sabemos que la longitud de los intervalos está dada por $\displaystyle x_i-x_{i-1}=e^{\frac{i}{n-1}}-e^{\frac{i-1}{n-1}}=e^{\frac{i}{n-1}}(1-e^{-\frac{1}{n-1}})$ . Además como $\ln(x)$ es monótona creciente, $\displaystyle \sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}\{\ln(x)\}=\ln(x_i)=\ln\big(e^{\frac{i}{n-1}}\big)=\frac{i}{n-1}$ . Hechas estas observaciones, queda:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{i-1})\cdot \sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}\{\ln(x)\}=\frac{1-e^{-\frac{1}{n-1}}}{n-1}\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i\cdot \left(e^{\frac{1}{n-1}}\right)^i$ . Para esta parte tendrás que deducir la fórmula usando una relación de recurrencia (no se me ocurre otra manera). Una vez que halles cuánto vale la suma superior (dependiendo de

), toma límite.

Saludos

Disculpa Fernando, estaba terminando de escribir el mensaje :risa:

PD.
Hechas las cuentas (muy probable que haya error), la suma superior me queda:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ahora habría que tomar límite y rezar para que coincida con la integral je, je


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pabloN

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Re: Integral por definición y particiones

« Respuesta #3 : 23/01/2012, 07:25:55 pm »

Ahhh ahora mirando el mensaje de Fernando se me presenta la siguiente duda... ¿es parte de la letra que los puntos de la partición estén equiespaciados? Porque si es así la partición mía no sirve pues la distancia entre los puntos crece con


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Re: Integral por definición y particiones

« Respuesta #4 : 23/01/2012, 10:15:40 pm »

Cita de: pabloN en 23/01/2012, 06:11:40 pm

Para esta parte tendrás que deducir la fórmula usando una relación de recurrencia (no se me ocurre otra manera).

Retiro lo dicho. La suma que nos da problemas es $\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i\cdot \left(e^{\frac{1}{n-1}}\right)^i$ . Es de la forma:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i\cdot b^i$ con $b=e^{\frac{1}{n-1}$ (no depende de

, eso es lo importante)

Entonces podemos hacer así:

$\displaystyle { \sum_{i=1}^{n-1}i\cdot b^i=\sum_{i=0}^{n-1}i\cdot b^i=b\sum_{i=0}^{n-1}i\cdot b^{i-1}=b\sum_{i=0}^{n-1} \frac{{\partial }}{{\partial b}}(b^{i})=b\cdot \frac{{\partial }}{{\partial b}}\left( \sum_{i=0}^{n-1} b^i\right)=b\cdot \frac{{\partial }}{{\partial b}}\left( \frac{1-b^n}{1-b}\right) =b\cdot \frac{-n\cdot b^{n-1}(1-b)+(1-b^n)}{(1-b)^2}}$

Sustituyendo

por $e^{\frac{1}{n-1}$ tenemos lo que buscábamos (y no hay necesidad de resolver ninguna recurrencia).

Saludos


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Fernando Revilla

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Re: Integral por definición y particiones

« Respuesta #5 : 24/01/2012, 05:21:55 am »

Cita de: pabloN en 23/01/2012, 07:25:55 pm

¿es parte de la letra que los puntos de la partición estén equiespaciados?

No conocemos exactamente el enunciado del problema. Lo que se nos presenta es una exégesis ( :risa:

) de Lorefran :

Cita

Necesito calcular $\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x$ utilizando la caracterización de integral de Riemann. Además debo usar una partición de n-1 intervalos para [1, e].

P.D. 1. Hay respuestas frecuentes que hago a ciertas preguntas: ¿Cúal es el enunciado exacto del problema? ¿En qué contexto? Y esto es lo que deberíamos haber hecho también en este caso ( otra sonrisa ).

P.D. 2. Lorefran : ¿Podrías transcribir el enunciado exacto del problema?


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