¿QUÉ ES LA DEMOSTRACIÓN POR EL ABSURDO?
Se me interroga si sé lo que significa demostración por el absurdo.
Tienen razón: Ahí, precisamente ahí, reside todo.
La cuestión es: En este concreto caso y nada más que en este concreto caso, ¿ignora el mundo matemático lo que es esta clase de demostración o lo ignora Racedom?
Dado que no es cosa baladí enfrentarse al mundo matemático, el ingenuo Racedom busca ayuda y como esa ayuda tiene que ser de muy buenos quilates acude a los clásicos, a los clásicos griegos.
El gran Parménides zanjó de una vez por todas: El ser es el ser, y el no ser es el no ser.
Y el bardo inglés estuvo de acuerdo: To Be or not to Be.
Como esto vale en todo dominio del conocimiento humano, también vale en matemáticas.
Sea N un número natural. La disyuntiva es tajante: O es número par, o es número impar.
¿Cabe aquí el menor sofisma? Cabe. Es puro sofisma decir: Por hipótesis el número N es par o es impar.
Aquí reside el sofisma. Una moneda se tira al aire y puede salir cara o cruz, pero una vez que ha caído ya es o bien cara, o bien cruz. Cuando el árbitro de fútbol le indica al capitán que elija, éste no dice: “Por hipótesis, elijo cara”. Eso carece de sentido y aplicado a las matemáticas es el sofisma que quiere que lo elegido sea a la vez cara y cruz.
Sea, pues,
y siguiendo la enseñanza de Parménides sabemos que esta ecuación puede ser verdadera o falsa. No puede ser a la vez verdadera y falsa. Tal vez en el mundo real tenga razón Heráclito: Todo es un devenir, pero en el mundo ideal de la matemática el ser es el ser y el no ser es el no ser, y, por tanto, la ecuación o es verdadera o es errónea. De hipótesis, nada de nada.
Y Racedom le dice al mundo matemático: Elija lo que quiera: Verdadera o Falsa.
Y el mundo matemático contesta: Elijo ser falsa dicha ecuación.
Racedom dice: De acuerdo. Demuéstremelo ya que en matemáticas toda afirmación debe llevar su demostración.
Comienza así el mundo matemático: Si por hipótesis esta ecuación es falsa, entonces....
Y Racedom interrumpe: Aquí ya no hay hipótesis que valga. Si ha elegido que es errónea, entonces es que es errónea y no cabe el subterfugio de que por la puerta de atrás se nos diga que también es verdadera.
Después de un año de discusión el mundo matemático acepta que la disyuntiva recae sobre lo real y no sobre una hipótesis: O es realmente verdadera, o es realmente errónea.
Después de todo un año de discusiones el mundo matemático logra ver que elegida la opción errónea ya que no vale acudir a las ternas pitagóricas porque su elección ha sido que no es terna pitagórica.
No le queda, pues, más remedio que escoger la otra alternativa: La ecuación es verdadera.
Y añade: Es verdadera, por hipótesis.
Y Racedom le dice: ¿No hemos quedado después de discutirlo durante todo un año que la disyuntiva es sobre lo real y no sobre la hipótesis? Si es verdadera, es que es verdadera y no me quiera colar que sea verdadera y falsa a la vez.
Mundo matemático: Es verdadera y lo demuestro. Como es verdadera terna pitagórica le aplico la estructura de la terna pitagórica y llego a otra ecuación de la misma estructura y de menor valor absoluto.
Racedom: Estoy totalmente de acuerdo y estoy totalmente de acuerdo que como camina de verdad en verdad, va pasando de terna pitagórica a terna pitagórica, y cada vez dichas ternas pitagóricas, auténticas ternas pitagóricas tal y como la realidad inicial nos exige, son cada vez más pequeñas, y bajando y bajando al final no tengo más remedio que llegar a la terna pitagórica más pequeña:
. De acuerdo en todo, pero con ello no ha demostrado nada de nada.
Dice el mundo matemático: En realidad es que no me he expresado bien: En el punto de partida la ecuación es verdadera pero no en sí misma, sino tan solo con respecto a mí para así poderle aplicar la estructura de la terna pitagórica. Cuando llego a la misma estructura de menor valor, le aplico el descenso infinito y entonces lo que era erróneo en sí y para sí, aunque verdadero con respecto a mí y para mí (ya que tan solo así le puedo aplicar la estructura pitagórica,) deja de ser verdadero también para mí.
Comenta Racedom: En resumen: La ecuación era verdadera o falsa conforme en su entendimiento fuera verdadera o falsa. La ecuación no tiene verdad ni error en sí misma, sino que todo depende del entendimiento que la piensa.
Y concluye Racedom: Para que acepte lo que se nos dice tan solo le falta un pequeño detalle: Que la mente del matemático sea ni más ni menos que la mente de Dios y que las ecuaciones matemáticas son verdaderas o falsas según así lo vea dicha mente.
Llegado a este punto parece sensato concluir: ¿No será más sencillo rechazar esta demostración, tenerla como pseudodemostración ya que la ecuación tan solo puede ser verdadera o falsa. Si es falsa, es falso todo el razonamiento. Y si es verdadera, entonces por muichas sutilezas que se emplean no puede dejar de ser verdadera.
El sofisma consiste en decir (sin decirlo, tal y como son los sofismas) que la ecuación es verdadera POR HIPÓTESIS o que es falsa POR HIPÓTESIS, con lo cual será verdadera y falsa a la vez: Verdadera al principio, y por eso le aplico la estructura de la terna pitagórica, y falsa como me lo demuestra el descenso infinito.
Lo repito por milésima vez: La disyuntiva no puede recaer sobre una hipótesis sino sobre la realidad.
HACER RECAER LA DISYUNTIVA SOBRE UNA HIPÓTESIS ES EL OCULTO SOFISMA DE ESTA PSEUDODEMOSTRACIÓN.
Se ve que el sofisma es tan oculto que el mundo matemático no lo llega a ver por más que el ingenuo Racedom lo repita N veces cuando N tiende a infinito.
P.D.; Acontinuación presentaremos la demostración (UTF)4 que nos daría el gran Euclides y la que nos daría un estudiante de Bachillerato.
