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Autor Tema: Cubo perfecto  (Leído 2421 veces)
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minette
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« : 19/04/2012, 07:57:55 am »

Hola

Si [texx]a^3+b^3=C[/texx]  y [texx]C[/texx] no es un cubo perfecto; si se pudiera demostrar que es imposible lo siguiente:

Si [texx]c[/texx] es la parte entera de [texx]\sqrt[ 3]{C}[/texx], es imposible que [texx](c\pm{t})^3[/texx], siendo [texx]t[/texx] natural sea tal que

[texx]a^3+b^3=(c\pm{t})^3[/texx]

¿serviría esto para demostrar el UTF para [texx]n=3[/texx]?

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 19/04/2012, 11:28:42 am »

Hola

 No sé si te estoy entendiendo bien. La propiedad que indicas es trivial:

 Si [texx]a^3+b^3=C[/texx] y [texx]C[/texx] no es cubo perfecto entonces es imposible que [texx]a^3+b^3=n^3[/texx] con cualquier [texx]n[/texx] entero.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 En particular es imposible para [texx]n=c\pm t[/texx] con [texx]c[/texx] parte entera de [texx]\sqrt[3]{C}[/texx] y [texx]t[/texx] natural.

 Esto por supueso no prueba el Teorema de Fermat para grado tres.

 Pero intuyo que quizá querías poner otra cosa.

Saludos.
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minette
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« Respuesta #2 : 20/04/2012, 08:33:58 am »

Hola

Claro que [texx]a^3+b^3\neq{n^3}[/texx]

Y claro también que

[texx]a^3+b^3\neq({c\pm{t})^3}[/texx]

Y claro también que

[texx]a^3+b^3=C[/texx]

Cuando C no es cubo perfecto.

Creo que deberías volver a leer el post con que inicio este hilo.

Saludos.
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racedom
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« Respuesta #3 : 20/04/2012, 12:01:34 pm »



DIALOGANDO CON MINETTE

El punto de partida parece poco prometedor ya que al apelar a la parte entera de la raíz cúbica de la suma de dos cubos, se está diciendo que nunca la suma de dos cubos de base entera nos lleva a otro cubo de base entera. Pero eso es precisamente lo que hay que demostrar. En resumen: Se parte de todo lo contrario de lo que se suele partir: Por hipótesis se dice que sí, que la suma de dos cubos nos lleva a otro cubo. Y luego se trata de demostrar que este hipótesis conduce al absurdo.
¿Qué le parece a Racedom el punto de partida de Minette? Le parece bien porque se toma un camino que, a primera vista, a nada puede conducir y que, por tanto, no merece la pena ser investigado.
PERO algunas veces la ciencia ha avanzado porque se ha investigado lo que parecía evidente absurdo su investigación.
Miremos, pues, el asunto. Además se trata de divertirnos un poco agradeciendo, de paso, el agrado que uno ha sentido al leer una entrega rebosante de humildad. (No así Racedom que, a veces, pontifica sin tener en cuenta que su nivel matemático es el del simple bachillerato. PERO es que escribe como escribe no tanto por soberbia, que también, cuanto por timidez y sobre todo por vagancia: Incapacidad de repensar lo escrito de un tirón)
¿Se diferencia el teorema si en vez de números enteros uno trata con números racionales?
La respuesta es negativa. En efecto; [texx](p/q)^n+(s/t)^n=(u/v)^n[/texx]
Ergo [texx](pqtv/q)^n+(sqtv/q)^n=(uqtv/q)^n[/texx]
Por tanto: [texx](ptv)^n+(stv)^n=(utv)^n[/texx]
Centremos ahora en un caso concreto:
[texx]37^3+58^3=245765[/texx], siendo la parte entera de su raíz cúbica 62.
Vayamos, pues, añadiendo decimales:
62+1/2=62x Ergo x=125/124   [texx](37.124)^3+(58.124)^3=(62.125)^3[/texx]
62+1/3=62x Ergo x=187/186   [texx](37.186)^3+(58.186)^3=(62.187)^3[/texx]
62+1/4=62x Ergo x=249/248   [texx](37.248)^3+(58.248)^3=(62.248)^3[/texx]
........................................
62+1/31=62x Ergo x=1923/1922   [texx](37.1922)^3+(58.1922)^3=(62.1923)^3[/texx]
.................................
62+1/119=62x Ergo x=7379/7378   [texx](37.7378)^3+(58.7378)^3=(62.7379)^3[/texx]
.........................
Y así sucesivamente.
Esta estructura, matemáticamente estable, nos demuestra lo que muestra y precisamente porque lo muestra: Que la igualdad es imposible.
Nos demuestra que los números racionales no son aptos para la establecida igualdad
Dado, pues, que respecto al teorema los enteros y los racionales se identifican, hay que concluir que si la suma de dos enteros al cubo no nos lleva a un racional al cubo, entonces habrá que concluir que tampoco nos lleva a un entero al cubo.
Y claro, lo que se dice de los cubos se dice exactamente igual de cualquier potencia de exponente impar.
Con lo cual tan solo queda demostrar el teorema para la cuarta potencia para que el UTF quede demostrado en toda su generalidad.
¡EUREKA! No es pequeño triunfo ser el primero que ha logrado demostrar el teorema por un camino tan sencillo.

PERO. y es que el molesto PERO no nos deja en paz.
Resulta que lo que hemos dicho con los cubos y se puede decir con las demás potencias, también se puede decir, of course, con los cuadrados.
[texx]17^2+46^2=2405 [/texx] siendo la parte entera de su raíz cuadrada el número 49
A continuación hacemos lo mismo que hicimos con los cubos y llegamos a la conclusión de que como no nos valen los racionales tampoco nos valen los enteros.
PERO: [texx]20^2+21^2=29^2[/texx]
Se ve que el ¡Eureka! Hay que dejarlo para posterior ocasión.
¿Tiempo perdido? En absoluto.
¿Hemos avanzado algo?
Respuesta: Muchísimo.
¿Por qué?
Porque la piedra de toque del UTF es el teorema de Pitágoras y todo lo que sea mirar y remirar a las ternas pitagóricas es pura ganancia. Para llegar a resolver un problema es pura ganancia rechazar las aparentes soluciones y eso se consigue acudiendo a Pitágoras.
Hemos, pues, ganado bastante gracias a que alguien supo preguntarse de tal modo que la pregunta parecía inútil.
 Pregunta final: ¿Racedom mirando y remirando a las ternas pitagóricas ha resuelto el UTF en toda su generalidad?
Dejando la contestación en el aire, a continuación presento la resolución para la cuarta potencia dejando pendiente la resolución para todos los números primos.

LA CUARTA POTENCIA.
Cuando uno pretende demostrar el UTF concretado en la cuarta potencia se ve forzado a acudir a la estructura de la terna pitagórica.
La estructura de la terna pitagórica es [texx](a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a2+b2)^2[/texx], ergo si se quiere ver si posible o no es posible [texx]X^4+Y^4=Z^4[/texx], no queda más remedio que ver la posibilidad o imposibilidad de [texx]X^2= a^2-b^2;[/texx]; [texx]Y^2=2ab[/texx]; [texx]Z^2= a^2+b^2[/texx]
[texx]y^2+z^2^=(a+b)^2[/texx][texx]X^2+ Y^2+Z^2=2a^2+2ab=2a(a+b)=X^2+(a+b)^2.[/texx]
[texx]2a=X.X/(a+b)+(a+b).[/texx]. Y como tenemos que mantenernos en los números enteros no queda más remedio que concluir que X es igual a (a+b) o es su múltiplo. No olvidemos que todo número entero está formado por producto de números primos.
El resultado final es que 2a=2n(a+b), lo cual es imposible ni tan siquiera cuando n=1.

Un cordial saludo.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 20/04/2012, 05:56:56 pm »

Hola

Cita
Creo que deberías volver a leer el post con que inicio este hilo.

 Pues debo estar muy espeso. Entiendo que preguntas si probar cierta Proposición serviría para demostar el UFT.

 Entiendo que esto son las hipótesis de la proposición:

Si [texx]a^3+b^3=C[/texx]  y [texx]C[/texx] no es un cubo perfecto; si se pudiera demostrar que es imposible lo siguiente:

 y esto lo que bajo esas hipótesis afirma la proposición:

Cita
Si [texx]c[/texx] es la parte entera de [texx]\sqrt[ 3]{C}[/texx], es imposible que [texx](c\pm{t})^3[/texx], siendo [texx]t[/texx] natural sea tal que

[texx]a^3+b^3=(c\pm{t})^3[/texx]

Lo que te he respondido es que esa proposición es trivialmente cierta y que no veo que ayude en nada a probar el UTF.

Si no es esto lo que quieres decir, por favor, acláramelo.

Saludos.

P.D. Racedom: por favor en cada hilo limítate de la manera más ajustada posible, al tema preciso que lo inició. Si quieres decir otra cosa, aunque relacionada, distinta abre otro hilo y en todo caso cita este. Eso ayuda a todos: a minette a resolver su problema; a ti a que se te preste atención a lo que dices sin mezclarlo con lo que dicen otros; a los demás a poder entender y seguir los debates.
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racedom
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« Respuesta #5 : 21/04/2012, 09:07:49 am »

RESPONDIENDO A MINETTE

Racedom respondió a tu pregunta haciendo ver que ni tan siquiera los números racionales son aptos para resolver el UTF concretado en los cubos.
Y también hizo ver que eso no conlleva que no puedan serlo los enteros. Hay, pues, que elegir entre irracional y entero.
Dicho lo anterior Racedom no cree irse por la tangente cuando añade que la enseñanza a sacar es que cuando tratamos de resolver el UTF hay que tener siempre muy en cuenta a las ternas pitagóricas.
Y tampoco creyó irse por las ramas cuando para que se vea la enorme importancia que tienen las ternas pitagóricas con respecto al teorema que pretende ser su generalización, muestra una sencilla demostración del teorema para la cuarta potencia.
Centrándonos estrictamente en lo tuyo hay que decir que normalmente el problema se plantea así: [texx]a^3+b^3=(a+t)^3 [/texx]y lo que hay que demostrar es que t no puede ser un entero positivo.
Cuando tu partes de la parte entera de la raíz cúbica del número que es [texx]a^3+b^3 [/texx] entonces ya sales derrotado porque afirmas que siempre hay una parte entera y otra parte decimal, o sea que partes de afirmar que siempre [texx]a^3+b^3 [/texx] no puede ser N3  siendo N un número natural.
Sinceramente opino que este comienzo no parece muy prometedor y en la anterior entrega intenté sacarle el mayor partido posible.
Espero y deseo no te molestes cuando te digo que ya sales derrotado. Al fin y al cabo haces lo mismito que ha hecho la comunidad matemática: Tratar de demostrar el teorema para concretos exponentes con demostraciones que servían para cada concreto exponente. ¿Se puede salir más derrotado sabiendo, como se sabe, que el conjunto de los números primos es infinito?


P.D. ;Cruzo los dedos para que El Manco no me retire esta entrega a otro hilo.
   Racedom  no pretende molestar y lo que ocurre es algo muy simple: No tiene ni idea de cómo abrir otro hilo y tampoco sabe cómo poner todas esas letras que reenvían a otro sitio.
Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 23/04/2012, 06:24:37 am »

Hola

P.D. ;Cruzo los dedos para que El Manco no me retire esta entrega a otro hilo.
   Racedom  no pretende molestar y lo que ocurre es algo muy simple: No tiene ni idea de cómo abrir otro hilo y tampoco sabe cómo poner todas esas letras que reenvían a otro sitio.

Si no sabes hacer algo pregunta.

Para abrir un nuevo hilo, ve al subforo donde quieras escribirlo. En tu caso te interesará probablemente el foro Teorema de Fermat. En la parte superior derecha verás una pestaña que pone Nuevo Mensaje: púlsala y listo.

Saludos.
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