Ternas Pitagóricas

[jorgekarras]

Si no es por protestar, es por comodidad... Si tenemos el mismo gráfico los dos (y el resto que leen), en vez de tener cada uno el suyo en la cabeza, pues mejor.

A mí me obliga, para entenderte, a dibujarlo de nuevo en mi casa. Y es una lata. Imagina a los que sólo se paran a leerlo. El primer perjudicado eres tú, pienso.

Fuera de estas cuestiones de pura ergonomía  , sigo sin entenderte por dónde vas.

Que esa figura es imposible con todas las cotas con números naturales, es claro (hablamos de ternas pitagóricas primitivas, luego se trata de números enteros o naturales). Los dos de acuerdo, ¿no?.
Tal como está, h deber ser una fracción o número racional (por cierto que antes cometí el desliz de llamarlo irracional)

Ahora: no sé que más se puede demostrar a partir de ahí, excepto que dos ternas no pueden crear otra con un lado adyacente.


En cuanto a las correspondencias trigonométricas:

Si te fijas en el ángulo que forman yz (llamémoslo alfa), su coseno es la relación precisamente y/z, que al mismo tiempo es también la relación n/y; y así con el seno y la tangente.
Pero, al mismo tiempo, al trazar h salen ángulos complementarios. El ángulo entre yz es el mismo que entre xh ... De ahí todas las equivalencias.

Por último: el área del un triángulo es la base por altura partido por 2. Si el triángulo es rectángulo y tomamos por base la hipotenusa, entonces el área del triángulo es precisamente la mitad del área que formarían los catetos, que es la relación que planteas:

z.h/2=x.y/2 ; z.h=x.y

En un mensaje anterior creí que reconocías que tus conclusiones llevaban a un círculo vicioso. Así que estoy perdido otra vez...

Un saludo

[Algebrista]

Continuo con la difusión de las ternas originales, origen de este foro y citadas en varias ocasiones por Jorge Carrasco y Rubén Rosas. 
Si tres números X, Y, Z son enteros diferentes de cero que satisfacen

Dichas ternas se calculan por medio de las siguientes formulas:

(p, q) primos relativos


Estas ternas tienen, para mí, la asombrosa propiedad de estar fundamentadas en los números triangulares, de la siguiente forma.




Esto me sugiere que les amerita sobradamente el nombre de originales que les asigné.
Las ternas tradicionalmente llamadas primitivas son derivadas de estas originales.

Las ternas originales satisfacen, entre otras, las siguientes propiedades.





En la fila inferior se muestra una sucesión de números T. Para obtenerlos basta sumar al
T precedente el número a la derecha en la sucesión de naturales en la fila superior.

    2    3    4    5    6    7     8     9   10   11    12   13   14      15     16    17
1,   3,   6,  10,  15,  21,  28,  36,  45,  55,  66,   78,   91,  105,  120,  136, 153

Si q =1 las formulas se reducen a
que satisfacen:
Siendo n  = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…,   es decir cualquier número natural.

Los tres términos (x, y, z) son enteros, conformando x la sucesión: 3, 5, 7, 9, 11, 13,…, es decir todos los enteros impares mayores que 1. 

Las siguientes son ternas originales precedidas de sus correspondientes (n, T):

[(1, 1), (3, 4, 5)],   [(2, 3), (5, 12, 13)],   [(3, 6), (7, 24, 25)],   [(4, 10), (9, 40, 41)],

[(5, 15), (11, 60, 61)],   [(6, 21), (13, 84, 85)],   [(7, 28), (15, 112, 113)],   etc.


Si q = 2 en  p/q se originan ternas en las cuales X =2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…, es decir cualquier natural par.
   
     p/q            T             X            Y             Z           a        b           c
    1/2           3/8             2          3/2          5/2           4        3           5
    3/2          15/8            4         15/2         17/2          8       15         17
    5/2          35/8            6         35/2         37/2         12       35         37
    7/2          63/8            8         63/2         65/2         16       63         65

Los anteriores números T fraccionarios no corresponden a la definición clásica de tales números, algo que geométricamente supera los limites de mi intelecto, pero de todas maneras originan ternas pitagóricas originales ya que al reemplazar T en
La cantidad subradical es siempre un entero cuadrado perfecto.

Existe una terna pitagórica X, Y, Z, donde los valores de X  son iguales a 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, es decir cualquier número natural mayor que 1, y satisfacen

Mis muy limitados conocimientos me impiden percibir que implicaciones tiene esto en la posibilidad de para n > 2.

De todas formas me parece una buena base para intentar una solución sencilla y digerible para la mayoría de aficionados como yo.




 

[cuadraticus]

 Mira Jorge k,si quieres entender ahí está clarito la prueba de problema por mí propuesto,a lo mejor debes leerlo de nuevo y poner
buena disposición.Ese problema no tiene nada que ver con lo principal
 del anterior que era: si un cubo es suma de dos cubos en números naturales, enronces dados dos lados de un triángulo rectángulo que sean de la forma u(u)^1/2,entonces el tercer lado será de ésa forma,por ejemplo la hipotenusa,pero probar éso me conducía a un cículo vicioso,por lo que borré toda aparente demostración anterior.Ésta "demostración" me conducía al problema presentado por mí,de encontrar los valores de dos triángulos rectángulos adosados que formen otro de lados en números enteros positivos.La solución lleva a que los triángulos menores no tengan
 todos sus lados en números enteros.Ésa solución la obtuve por
 comparación de triángulos semejantes,sin utilizar trigonométría,aun que podría utilizarse,pero te darás cuenta que es un problema aparte
 del anterior relacionado con los cubos.Respecto del círculo vicioso
 hace tiempo ahí en el foro me encontré en una discusión con otro miembro respecto de lo que llamé de otra forma. Es fácil caer en ésa trampa. Rubén M. parece que quiso responder a mi última propuesta
 pero no la encuentro directamente relacionada, debo revisar las fórmulas con cuidado y detenimiento,pero ahora no estoy mentalmente preparado.
 En otra parte Damián dice que encontró una solución simple del "gran
 teorema de Fermat" Yo también ahora encontré una solución increíblemente simple,que creo la había pensado hace mucho,pero positivamente se vé que no es posible aplicar el método que se hace para las ternas a otros exponentes.La objeción que puede darse sería:"¿quién nos puede asegurar que propiedades particulares de  
 ésos  exponentes permitan construír otras clases de ternas?
 R.R.Saludos

[cuadraticus]

 Mira Rubén M.hay una explicación sencilla y digerible por qué es
 imposible X^n + Y^n = Z^n  para exponente n impar.Es decir para todo lo afirmado por Fermat pues se sabe que demostrada la imposibilidad para n primo impar el teorema queda demostrado en su
 total generalidad.Ésto se me ocurrió últimamente,aunque hace mucho que sé que las ternas surgen por aplicación de propiedades
 especiales de n=2,pero para dar a conocer ésto tengo que visualizar
 el campo y ver como dice la parábola bíblica si hay tierra fértil en
 dónde pueda germinar la semilla en diversos lotes.
 Mira R.M.en una parte de tu escrito del nueve de abril,dices que los
 8T/8+1 son cuadrados,sin embargo es cierto que para T=3.15,35,63
 se obtendrán cuadrados pares,pero T es número triángulo sólo para
 los dos primeros (se sabe que 8T+1 son cuadrados impares).Saludos

[Algebrista]

Hola Rubén.

Gracias por tu respuesta.

Hice la aclaración de que 3/8, 15/8, etc. no corresponden a la definición de los números T, no obstante satisfacen algebraicamente la condición que  es un entero par.

Llamemoslos entonces T´ o inmodestamente los T de Rubén Moré

[cuadraticus]

 De acuerdo Rubén M.de cualquier forma queda en pié si demostraste
 o alguien demostró si existen equivalentes o nó en otros exponentes
 a las ternas pitagóricas enteras primitivas originales.Saludos

[transmigrado]

lo que esta publicado en monografias yo lo publique en el foro hace tiempo sobre las ternas pitagoricas, ademas atraves de eso demostre el teorema de fermat... justo hoy tuve conversaciones en mi universidad para publicarlo en una revista cientifica...

[Algebrista]

Mi articulo tiene 7 años de estar publicado en Monografias, como consta en la misma página.
Además hace10 años que lo tengo registrado en notaría pública tanto en inglés como español.

Rubén Moré Argel.

[Algebrista]

Saludos Tocayo.

Cuando me refería a digerible hacía referencia a la demostración del Sr. André Weil a que han hecho referencia Jorge Carrasco y tú, que aparentemente consta de mas de mil páginas.

Y tampoco estaba tratando de demostrar lo de las ternas elevadas a exponentes mayores que 2.
Tengo la demostración para las ternas con la misma extructura de mis Pitagóricas originales pero no la he publicado en el foro.

[transmigrado]

la cosa es que al parecer llegamos a las mismas conclusiones sobre ternas pitagoricas, yo igual que tu tengo esa demostración hace mucho tiempo como 2002, solo que en ese tiempo tenia 17 años y no me habia acercado tanto a las matematicas, hace un año mas o menos que ingrese en este foro y publique eso... pero mi trabajo ademas de abarcar las ternas pitagoricas demuestra el teorema de fermat, creo que eso le entrega una valides extra.

[Algebrista]

Mi articulo lo tengo registrado desde 1997 y publicado en monografias desde 1999.
Monografias no tenía el area de matemáticas y le escribí al Sr. Lucas Morea el mentor de Monografias sugiriendole la creación del area de matemáticas y el primer articulo publicado fue el mio (INVESTIGACION TRANSCENDENTAL SOBRE TEORIA DE NÜMEROS ELEMENTAL).
Además tengo constancia de exposiciones hechas en publico en eventos de mi universidsd antes del año 2000.

[cuadraticus]

 Tresmigrado ¿vos demostraste el "Teorema de Fermat? Hace tiempo que nos conocemos y nunca me dijiste éso.Por qué no lo publicás aquí,total tu trabajo ya está publicado y nadie te lo puede quitarTe pregunto a vos como a Rubén Moré ¿cómo se puede hacer para publicar algo?. Acabo de darme cuenta(pocos días atrás) de una forma muy simple de obtener las ternas,y ver que de ésa forma es imposible obtener otras para exponentes distintos al de las
 pitagóricas, de cualquier forma, nadie podría asegurar que en otros exponentes existan propiedades deconocidas que puedan hacer que
 existan ésas ternas no pitagóricas.Lo que "descubrí" puede resultar
 de mucho interés para algunos,aunque nunca se sabe,por ejmplo
 lo que dí a conocer con el nombre "Algo más general que el PTF"
 parece que no suscitó interés aunque me parecía que lo tendría.
 Digo que podría suceder de poder obtener ternas en otros exponentes a través de propiedades desconocidas o sin que existan propiedades,como el ejemplo dado hace tiempo por mí de lo
 mostrado en televisión de haber encontrado utilizando grandes computadoras del caso negado supuestamente por Euler que no existe la suma de tres cuartas potencias iguales a una cuarta potencia.
 Saludos  
 

[transmigrado]

mira para publicar algo y te sea reconocido debe estar en una publicación cientifica, y para estar en una publicación cientifica tienes que estar avalado por otros matematicos, yo entre a estudiar a la universidad de chile este año y estoy preparando un informe con la demostración del teorema de fermat... lo que tengo es super corto conparado con lo de wiles... y lo demuestro a trave de las ternas pitagoricas que ademas obtuve por otro metodo distinto al de algebrista creo y son mas amplias de la que el publica... por ahora no voy a publicar la solución al teorema de fermat... voy a preparar el informe para la universidad y luego que eso este en orden con todos los requerimiento no dudare en publicarlo aqui en el foro... si tienes razón a veces no se toman en cuenta cosas importante mi primer mensaje fue el de las ternas pitagoricas y no muchos lo tomaron en cuenta, y ahi conoci a ruben rosas que fue el unico que le tomo la real atención

saludos

[transmigrado]

si no me equivoco cudraticus=ruben rosas...

si es asi ¡hola ruben!... pero ¿porque te cambias tanto el nombre?

[jorgekarras]

Hola:

Yo no quiero ser aguafiestas, pero ¿no iba este "topic" de ternas pitagóricas?

No confundamos lo de Fermat con el viejo triángulo de toda la vida.

Yo mismo en alguna ocasión lo he mencionado, pero creo que, si os interesa, deberíamos arir otro debate que empiece de cero y mostrar las posibles propuestas.

Aquí de lo que se trataba era de las relaciones entre catetos e hipotenusas. Y creo que ha sido provechoso.
La propuesta de RM que traje aquí para abir el debate (¿hace cuanto, dos meses?) se ha demostrado irrebatible.
Luego modestamente propuse una similar basada en pura geometría con unas relaciones más que interesantes.

Ahora releo la entrada de la wikipeida (http://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica)  y me da pena que la fórmula que se muestre sea la conocida
a = m² − n²,
b = 2mn,
c = m² + n²

El gráfico adjunto no tiene desperdicio como juego para alquimistas.

Contra eso sí que habría que hacer algo. Decidme una cosa: ¿os parecería mal si modificara ese artículo para incluir lo aquí expuesto?

Salu2 (al cuadrado, que no al cubo)

PS: Hola, Transmigrado:

Publicaba este mensaje al mismo tiempo que el último tuyo.
Fermat aparte, sería interesante escuchar tu propuesta sobre las ternas.
Personalmente, me interesa.

otro saludo

[transmigrado]

Me gustaría que le echárais un vistazo a este artículo:

http://www.monografias.com/trabajos5/numelem/numelem.shtml


Creo que desvela todo (o casi todo) sobre las ternas pitagóricas.

Dado un número n, se puede generar un terna (X,Y,Z) que cumpla

X2+Y2=Z2

de la manera:

X= (2n+1)
Y= 2n(n+1)
Z = [2n(n+1)+1]

Si n es una fracción, cualquier número natural superior a 1 puede generar una terna en el conjunto de los racionales.

Resultando, entre otras relaciones, que siempre:

Z=Y+1

X2= Y +Z


Al autor le gustaría una mayor difusión, pero no sabe bien cómo.

eso no lo dice todo tomen esta terna pitagorica

6,8,10 segun eso expuesto ahi no da para ningun n

teorema

para todo numero natural denotado a existen otros dos naturales b,c tal que se cumpla lo siguiente



con a>2

[jorgekarras]

Jefe, que 6,8,10 no es primitiva...
Prueba con 3, 4, 5...

En todo caso, la variante geométrica (que coincide bien con la propuesta por RM) sí que vale:

z=r +a+ b
x=r+a
y=r+b

r= 2n (par)
r2 = 2ab

Toma r= 4
a, divisor de r2 = 2
b= 42 / 2a = 4

z=  4+4+2 = 10
x= 4+2 = 6
y= 4+4 = 8


Salu2

[Algebrista]

La terna 6, 8, 10 no es original ni siquiera primitiva es simplemente un multiplo de
(3, 4, 5), lo mismo que (9, 12, 15) ó (12, 16, 20) tales ternas carecen para mi, y creo que para todo matemático, de todo interés

De todas maneras, para obtener la original, basta dividir cada uno de los tres términos
 x, y, z por (z - y) en cualquiera de estos tres casos se obtiene (3, 4, 5) que es al mismo tiempo original y primitiva.

[cuadraticus]

 Estimados amigos latinoamericanos Jorge Armando y Rubén M.
 Mira J.A.Cuadráticus soy yo,es decir Rubén Rosas.He tenido que
 cambiar de nombre por que cada tanto desparezco del foro,y aún
  con la ayuda de algún familiar que no saabe mucho de internet y ésas cosas pero yo sé menos,no he podido entrar al foro con el mismo nombre.
 Creo que las ternas pitagóricas tienen que ver con el "Gran teorema de Fermat",aunque alguien lo ponía en duda,quizá fué ésto que hizo
 exclamar a él "las ternas sólo valen para los cuadrados pitagóricos"
 al darse cuenta que hay algunas propiedades que sólo son aplicables para ellos.A ésto lo he manifestado en el foro y tengo de
 hace mucho una explicación contundente.Ültimamente también
 llegué a la misma conclusión por una vía diferente e increíblemente simple,pero como decía hace unos días,se podría objetar que por propiedades desconocidas,o ninguna propiedad se encontrara alguna terna en otros exponentes tal como la hallada en suma de tres cuartas potencias que son una cuarta potencia.Supongo que si se demuestra que construyendo un triángulo rectángulo con dos lados
 iguales a una potencia de un natural u multiplicado por la raíz cuadrada de ése número,entonces el tercer lado no és de ésa forma
 se habría obtenido una confirmación contundente de ésa cuestión.
 Saludos

[cuadraticus]

 LA LUPA EN UN CASO PARTICULAR,¿POR QUÉ?

 El caso Z^2 = X^3 + Y^2      (I)

 En realidad ésto se debe a una propiedad particular de los cuadrados.
 
 Por la misma propiedad puedo demostrar que si Z cumple la (I) también
 se cumple:

                 Z^3 = a^2 + b^2    (II)

                  Z^4 = c^2 + b^2   (III)

                 Z^5 = d^2 +  e^2    (IV)

                          etc

  Por qué no se demuestra que para que se cumplan fórmulas de éste
  tipo es necesario que exista una propiedad?

  Si no existe una propiedad similar para Z^3 = X^3 + Y^3
  tampoco serán posibles:

                      Z^4 = A^3 + B^3

                      Z^5 = C^3 + D^3

                            ETC

  Lo mismo para otras potencias.

 ¿ Por qué se pone la lupa en el caso muy particular (I)?

  Nota : si alguno duda de que existan las fórmulas (II),(III),.., y no

 puede demostrarlo puede sacarse las dudas recurriendo a ejemplos

 dasos por computadora.