Ternas Pitagóricas

[Ruben Rosas]

 EXPLICACIÓN DEL MECANISMO QUE PERMITE OBTENER TERNAS

 A PARTIR DE UNA DADA


El método sólo sirve para diferencias de cuadrados pero no para cubos

 que son diferencias de cubos, quintas que son diferencia de
                                                                                                 quintas,etc

 1) Tómese una terna original X, Y, Z. Luego Y, Z son consecutivos.

 será entonces  X^2 = Z^2 - Y^2 =(Z - Y)( Z + Y)

  Z + Y =

 2) Si X es compuesto con  X = p.q entonces súmese dos veces en

 un paréntesis y réstese en el otro la mitad de

 El factor del paréntesis se mantendrá en el mismo

 valor y el otro habrá adquirido el valor

 Ejemplo para obtener

 

 Se tiene el factor , para obtener que es

 el otro factor se suma y se resta

 se tiene

 luego [/tex], para obtener hay

 que agregar

 Como ( 9-1)/2 = 4, ése el el número que hay que sumar y restar,

 es decir en se obtiene

 

 

[jorgekarras]

Como has recuperado este viejo tema, Ruben Rosas, me animo a enviar un pequeño documento sobre lo que he aprendido sobre las ternas desde que  inicié este tema hace ya bastante tiempo haciendo referencia a un extraordinario trabajo del otro Rubén, Moré, del que hace tiempo perdimos la pista.

Ahora entiendo mejor la relación que él establecía entre todas las ternas y las "originales".

Es evidente que todo lo que digo en el documento no es mío, sino que lo he ido sacando por aquí y por allí, resumiendo además algunos posts que envié en su tiempo. También hay una hoja excel para cualquier primitiva de manera sencilla.

Espero que a alguien le pueda servir.

Salu2

[Ruben Rosas]

 Mira Jorge karras,hay muchas formas de obtener las ternas pitagóricas,

 lo de Rubén Moré es interesante pero muy complicado. Lo que expuse

 muestra que la forma de obtenerlas expresando los cuadrados de

 números impares como dos factores con dos términos cada uno en v.a.

 iguales, es una particularidad especial de los cuadrados y, todo

 intento de realizar lo mismo con diferencias de potencias mayores

 sería vana.Se me ocurre que es una forma de probar el UTF.Si se lee

 lo escrito por mí se verá que es de una sencillez increíble y me

 gustaría que se ponga sólo un poco de atención a ello y, solicito

 ése mínimo sacrificio.

 Saludos

[jorgekarras]

No sé, Ruben, yo no soy el apropiado.
Además, éste era un foro (ya un poco viejo) sobre las Ternas, no sobre el UTF.
Aún así, me he leído tu documento. Algunas cosas, como suele pasar, no las entiendo bien, je, je.
Otras creo que tienes un error:

En la página 2, en los apartados c)
c-3) todos los primos pertenecen a una sóla terna.
No es exacto: (3,4,5) (5,12,13)
c-7) es cierto, pero obvio: si todo impar es la resta de dos cuadrados, todo impar elevado a una potencia, como impar, también lo es
c-11) Si lo Z no son primos, son producto de primos... No entiendo bien ésto.

Son tonterías de escribir rápido, ya lo sé, es para que los corrijas en otra versión.

Sobre lo que propones, tampoco veo claro la solución al UTF.

Sí veo algo interesante en lo que dices:

Es cierto que siendo e un número primo, se cumple que
e= f12-g12
e2= f22-g22
e3= f32-g32

...

No sé si hay algo potable para el UTF (pero éste no era el foro).
Pero sí nos fijamos en el caso 3,
e3= f32-g32

suponemos que g es par, f impar, y por tanto
f32 = h22-k22
e incluso
g32= l22-m22

Desglosando así, al final k sería de valor =1 y m=2. Quizás se lleve a alguna conclusión...

La verdad, es tarde, estoy cansado.
En el documento que adjunté en mi mensaje anterior está un árbol de ternas muy claro, igual ayuda (no es original mío, así que hay pocas medallas que colgarse).

Espero haber ayudado en algo.

Salu2

[Ruben Rosas]

 Mira Jorgekarras, habíamos sido amigos, pero después te alejaste y

 no sé por qué.Vos estás cansado y yo acabo de cenar y estoy todavía

 con los efluvios etílicos de toda cena.Debo confesar que a veces

 tengo ganas de abandonar todo ésto del foro y como dice el tango:

 "es hora de emprender la retirada", sin embargo todavía me

 mantengo y no sé por qué.Debe ser por que existen todavía algunos

 "locos" como yo, y entre ésos entrás vos.Quisiera decir que todavía

 hay mucha "tinta en el tintero", pero pareciera que a veces la tinta

 en vez de mojar la pluma, se derrama en el pupitre.

 Mira,parece que en el caso que planteás que k se dirije hacia uno,lo

 mejor para que veas que no es así es dar un ejemplo, 9=25-16,

 25=169-144,  169=85^2 -84^2, etc. Es decir los números se van

 hacia arriba y no hacia abajo.

 Otra cosa: si el número es primo impar hay una sola terna que le co-

 rresponde, ejemplo el primo 3 es de la terna 3,4,1, pero al compuesto

 15 le corresponde 15,64,49, 15,16,1

 La cuestión c-7 no es tan obvia como vos decís pues se había dicho

 que los X impares y primos les corresponde una sola terna y aquí

 se dice que los cuadrados (por lo tanto ya no son primos) de números

 primos les correponde una sola terna

La cuestión c-11, debe decir, en una terna pitagórica X,Y,Z, los Z que

 no son primos son productos de Z.(producto de zetas).Ejemplo 65 que

 es un Z es producto de 5 y 13 que son zetas

 Te decía hace tiempo que las ternas pitagóricas se pueden expresar

 en un diagrama "arbolar". Me parece que ésto lo puse en un mensaje

 en el foro, no sé si coincide con lo tuyo. Tengo una explicación de

 por qué las ternas pitagóricas son infinitas, y, la explicación es

 netamente ecuacional algebraica, y hace mucho tiempo que "lo

 descubrí", pero la cuestión la tengo archivada en el lío de mis

 papeles y debería desarchivarla pues merece una mayor investigación

 especialmente en las ecuaciones de mayor grado.

 En fin, me parece que por hoy debo cortar con "la lata" pues me he

 extendido demasiado.Nota:la cuestió de las ternas expresadas por

 diferencias de dos cuadrados en "DOS" factores de "DOS" términos

 de números "IGUALES" en v.a. es una cuestión propia de los cuadrados

 hace imposible una versión parecida para diferencias de cubos,quintas

 etc, y en éso involucra al UTF,en todo caso sería una demostración

 indirecta

 Saludos.











 

 

[Ruben Rosas]

 Si por ejemplo m=5, m-1=4, es



 

 es decir I = m en éste caso

 ¿cuál es el otro paso?¿ cuál es el avance?

[jorgekarras]

Había un error en mi último mensaje, así que lo borro.
Si se me ocurre algo, y tengo tiempo para no meter la pata  , ya lo subiré

salu2

[Ruben Rosas]

 Mira, de lo que escribiste creo que no se desprende ninguna consecuencia, lo único que puede decirse es la siguiente
 propiedad: "todo número impar (excepto uno y tres) es la diferencia entre un cuadrado y la resta de la suma de cualquier cantidad de cuadrados,es decir la resta entre un cuadrado y otro, la resta entre un cuadrado y la suma de dos cuadrados, la resta entre un cuadrado y la suma de tres cuadrados, etc.Como el número impar puede ser un cuadrado o culquier potencia,como caso particular se tendría la siguiente propiedad:"el cuadrado de un inmenso número impar( el Z de una terna p.) es igual
a la suma de una inmensa cantidad de cuadrados"
 Pero ésta propiedad quizá es irrisoria.Creo que mejor es la 
 siguiente que yo lo había enunciado en el foro : dada la igualdad en
 números reales   a + b = c entonces ,,son lados de un triángulo
 rectángulo .Ésta propiedad no la he visto mencionada en ningún
 escrito o libro.Lo interesante que de ella se deduce fácilmente
 el teorema de Pitágoras y recíprocamente, pero como es más general
 me parece que ésta es la gallina y no el huevo, por lo tanto debería
 llamarse "El teorema de Rosásgoras" (perdón por el chiste malo)
 Otra cosa me gustaría que se vea el mensaje que envié con el
 número 180, en él se observa que a partir de la terna X=1, Y=0,Z=1
 que pertenece a todos los , para el caso
 de los cuadrados con ésa terna se pueden obtener todas las otras,
 pero se vé fácilmente que el método sólo se puede aplicar a los
 cuadrados y si se lo intenta realizar para n impar mayor que dos ello
 es imposible.Se me ocurre que ésto demostraría como decía Fermat
 la inaplicabilidad a otros exponentes ( hay que recordar que el UTF
 queda demostrado si se lo hace para todo exponente primo impar)
 De cualquier forma tengo una demostración directa gráfica y muy
 simple que deberá estar sujeta a debate.
 Saludos

[jorgekarras]

Imaginemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es z2 y su cateto par x2, ambos números naturales

tendremos necesariamente entonces que z2-x2 = q2

donde q es también un número natural impar, ya que la diferencia entre la hipotenusa y el cateto par es siempre un impar al cuadrado.

pero esto al mismo tiempo nos dibuja un triángulo rectángulo o terna tal que (x,q,z), primos relativos (terna primitiva)

Pensemos ahora dos opciones:

z es primo, por lo que que si queremos obtener otro triángulo donde aparezca z2, sólo podría ser (z2, xz, qz)

z no es primo. Por lo que podemos pensar que z=k2j, x=(2a)2j

y podremos entonces multiplicar ambos numeros por j para obtener dos cuadrados.
Pero entonces necesariamente el tercer lado sería y=qj, que no podría ser un cuadrado pues si q fuera divisible entre j no estaríamos ante una terna primitiva. (z2,x2,qj)

Esto explica la imposibilidad de formar ternas del tipo (z2,x2,y2)

e implica generalizando que para n>1

x2n+y2nz2n

salu2

[Ruben Rosas]

 Tomo la posta, aunque JK no sé a quien se dirije.

 Creo que aquí se presupone que si la hipotenusa es el cuadrado de un

 número natural y un cateto es el cuadrado de un número natural (de

 una terna pitagórica seguramente) entonces el otro cateto será

 también el cuadrado de un número natural. Pero como el cuadrado

 construído sobre la hipotenusa menos el cuadrado construído sobre

 un cateto es igual al cuadrado sobre el otro cateto, entonces se está

 hablando de cuartas potencias, y, creo que la demostración de la

 imposibilidad del teorema de Fermat para las cuartas potencias prueba

 que la diferencia de dos cuartas potencias NO ES CUARTA POTENCIA,

 ni siquiera es un cuadrado(claro quehablando de números naturales)

  En otras palabras, no existe un triángulo rectángulo en dónde sus

 tres lados sean cuadrados de números naturales.O también, si dos

 lados imp.son cuadrados entonces el otro no es ni medio cuadrado.

 

[Ruben Rosas]

 En demostrar que si existen ternas para ésta ecuación y X = impar

 entonces X = x. x´. x"....., los x, x´,x", .. pueden ser impares consecutivos, sólo vale para las

 ternas pitagóricas.