Demostrar normalidad e isomorfismo

[Mazokist]

Necesito ayuda para demostrar esto:

Sea G el grupo de todas las funciones de [0,1] en con la suma de funciones . Demuestre que

y, que 

de antemano, muchas gracias

[Tanius]

Considera dada por para toda .

[Mazokist]

mira, es que tengo algo, pero no se de qué me sirve:





Bueno, de eso saco que es homomorfismo.

[Tanius]

La función que definí dada por para toda es homomorfismo, porque . Calcula el núcleo de y su imagen, y luego usa el (primer) teorema de isomorfismo.

[Mazokist]

pero no sirve la que te di yo, que va de G/N en R?

[Tanius]

Me parece que no. ¿Cómo demuestras la inyectividad?

[Mazokist]

mira terminaré el ejercicio, y tu me dices si está bien o no. y si no lo está, eres bienvenido a explicarme que está mal y porqué.



y,
entonces

además, sea si tomo tal que

de eso, es epi, y entonces es isomorfismo

[Mazokist]

ahora, no se si esto esta bien.

porque para probar que debería tomar un elemento, que en esta caso son funciones, en y en para que se cumpla


en este caso, tomo y
¿?



entonces, y

[Tanius]

Tenías razón, me acabo de dar cuenta que la función que propones sí es un isomorfismo.

y,
entonces

Esto no está bien. Lo que tendrías que demostrar para la inyectividad es que

porque para probar que debería tomar un elemento, que en esta caso son funciones, en y en para que se cumpla

No necesitas hacer eso, porque es abeliano.

[Mazokist]

ok, veré como arreglarlo. gracias ^^

[Mazokist]

y si pongo esto:

entonces , son los tal que cumplen

pero, ya sabemos que
entonces, son los tal que lo que es justamente N

asi sirve?

[Tanius]

Lo que tienes que ver es la igualdad entre conjuntos .

Es evidente que . Así que basta verificar la otra contención. Toma un elemento de y demuestra que dicho elemento tiene que ser igual a .