Continuamos la demostración de que si ZFC es consistente también lo es NFA. Hasta ahora hemos probado (o hemos esbozado la prueba de) que si ZFC es consistente también lo es la teoría ZC más la existencia de un automorfismo
de la clase de todos los conjuntos que, para un cierto ordinal infinito
, se cumple que
.
Que
sea un automorfismo significa que cumple los axiomas
Los dos primeros axiomas permiten definir
como el único conjunto
tal que
, y es fácil ver que los tres axiomas anteriores se cumplen también si cambiamos
por
.
Más en general, si
es cualquier fórmula del lenguaje de ZFC (es decir, en la que no aparezca
) se cumple
,
y lo mismo es válido para
en lugar de
.
Supongamos que existe una fórmulapara la que el teorema no es cierto. Entonces podemos tomar una subfórmula
de longitud mínima que lo incumpla, de modo que todas las subfórmulas de
cumplen el teorema, pero
lo incumple.
La fórmula
no puede ser de la forma
o
, pues éstas cumplen el teorema como consecuencia de los axiomas que estamos suponiendo.
Tampoco puede ser de la forma
, pues, como
es una subfórmula de
, tenemos que
,
y esto implica
.
Igualmente se razona que
no puede ser de la forma
,
o
, pues las subfórmulas
y
cumplirían el teorema y esto implica que
también lo cumple.
Veamos el caso en que
es
. Estamos suponiendo que la subfórmula
cumple el teorema, es decir, que
Entonces, si se cumple
, existe un conjunto
tal que
, luego
, luego
, es decir,
.
Recíprocamente, si
existe un
tal que
, luego existe un
tal que
, de modo que
, y por hipótesis de inducción
, luego
, que es lo mismo que
.
El caso en que
sea
se trata análogamente o bien se reduce a los anteriores mediante la equivalencia entre
y
.
Esto prueba que el contraejemplo
no puede existir en ningún caso, luego el teorema es correcto.
En otras palabras, si un conjunto
cumple cualquier propiedad expresable con una fórmula que depende de unos parámetros, entonces
cumple la misma propiedad respecto de las imágenes por
de los parámetros. En particular, si
es una fórmula sin parámetros, tenemos que todo conjunto cumple
.
Por ejemplo, si tomamos
, tenemos que
, luego
, luego
.
Similarmente, si
es el ordinal siguiente a
, entonces, para todo ordinal
se cumple
, luego
, luego
.
A partir de aquí fijamos un ordinal infinito
tal que
y vamos a construir un modelo de NFA. Su universo será
, es decir, los objetos de NFA (conjuntos y átomos) serán los elementos de
y, de entre ellos llamaremos conjuntos a los elementos de
.
Notemos que esto tiene sentido, pues, como
, tenemos que
, luego
.
En particular, los átomos de
serán los elementos de
.
Observemos que si fuera
tendríamos que
y no habría átomos, pero este caso no puede darse, pues, todo ordinal infinito
puede expresarse de forma única como
, donde
es un ordinal límite y
un número natural, con lo que
y, si se diera la igualdad anterior, sería
, donde
es un ordinal límite y
es un número natural. Por la unicidad
, pero esto no puede ser, porque
es par si y sólo si
es par.
Esto no significa que no pueda construirse un modelo de NFA sin átomos por otro procedimiento, pero por éste no puede ser. Hasta ahora nadie ha sabido construir un modelo de NFA sin átomos a partir de un modelo de ZFC.
Definimos ahora la relación de pertenencia entre los objetos de
. Concretamente, definimos
de modo que
.
Notemos que, en principio,
,
, luego
y
.
Por último, como
es infinito, existe una aplicación inyectiva (biyectiva si queremos)
. Para cada par de objetos
, definimos su par ordenado (nivelado) como
, que es ciertamente otro objeto de
.
Lo que hemos de probar a partir de aquí es que si llamamos "objetos" a los elementos de
, llamamos "conjuntos" a los elementos de
, llamamos "átomos" a los elementos de
, llamamos "par ordenado de componentes
" a
y consideramos que la pertenencia entre dos objetos es la relación
, entonces se cumplen los axiomas de NFA.
Notemos que el modelo
que acabamos de definir cumple el axioma de los átomos, pues (en la definición de
) hemos exigido como condición para que un objeto
pueda pertenecer a un objeto
que el segundo sea un conjunto. Así pues, los átomos no tienen elementos.
Axioma de extensionalidad: Tomamos dos conjuntos
y suponemos que tienen los mismos elementos, es decir, que para todo objeto
se cumple que
. Hemos de probar que
.
La hipótesis es que, para todo
, se cumple
.
Ahora bien,
equivale a
, luego la hipótesis es también que para todo
se cumple
, Como
, esto implica que
.
Axioma de los pares ordenados: El axioma de los pares ordenados se cumple trivialmente en
, pues si
son cuatro objetos de
que cumplen
, esto no significa sino que
, pero
es inyectiva, luego
.
Axioma de formación de conjuntos: Ahora hemos de probar que las fórmulas estratificadas del lenguaje de NFA definen conjuntos. Toda fórmula estratificada es equivalente a una fórmula estratificada sin descriptores, así que podemos partir de una fórmula sin descriptores.
Más precisamente, toda fórmula estratificada es equivalente a otra fórmula estratificada cuyas subfórmulas son únicamente de uno de los tipos siguientes:
.
Una subórmula general sería de la forma
o
, donde
y
son términos formados con pares ordenados y variables, pero ambos tipos de subfórmulas son equivalentes a fórmulas de la forma
o bien
, que claramente están estratificadas si lo están las fórmulas de partida.
A su vez, una fórmula de tipo
es equivalente a
, y aplicando transformaciones de este tipo un número finito de veces llegamos a una fórmula cuyas subfórmulas sean todas de los tipos indicados, sin perder la estratificación en el proceso.
Si
es cualquier fórmula del lenguaje de NFA cuyas subfórmulas se restringan a los tipos indicados, podemos definir a partir de ella una fórmula
del lenguaje de ZFC más el signo j de modo que la fórmula
es verdadera en el modelo
si y sólo si
, donde
es la función que define los pares ordenados nivelados en
.
En efecto, para construir
basta sustituir cada subfórmula de tipo
por
, cada subfórmula de tipo
por
, cada subfórmula
por
y cada cuantificador
o
por
o
.
Supongamos ahora que la fórmula de partida admite una estratificación en la que cada variable
tiene asignado un tipo
, y sea
un número natural mayor que todos los tipos asignados. En tal caso, en lugar de construir la fórmula
, podemos construir otra fórmula equivalente
del modo siguiente:
En lugar de sustituir cada subfórmula
por
, la sustituimos por la subfórmula equivalente
.
(Aquí
, etc.)
En lugar de dejar invariante cada subfórmula
, la sustituimos por la subfórmula equivalente
.
La fórmula es equivalente porque, como
es una subfórmula de
, la definición de estratificación exige que
, luego hemos aplicado
el mismo número de veces a ambos miembros.
En lugar de sustituir una subfórmula
por
, la sustituimos por la subfórmula equivalente
.
Nuevamente hemos usado que, por definición de estratificación,
, por lo que en la parte final hemos aplicado
el mismo número de veces a los dos miembros.
En lugar de sustituir
por
la sustituimos por
, donde la estratificación garantiza una vez más que
, por lo que las fórmulas son ciertamente equivalentes.
De este modo, en la fórmula
cada variable
distinta de la variable
que sustituimos por
aparece en un término de la forma
. Además en
pueden aparecer varios parámetros de la forma
, para distintos valores de
.
En particular, cada variable que en
está ligada por un cuantificador
aparece en
en la forma
, pero esto es equivalente a
, ya que cuando
recorre todos los elementos de
, tenemos que
recorre todos los elementos de
. (Lo mismo vale para cuantificadores existenciales.)
Esto significa que la fórmula
es equivalente a una fórmula
, donde
es una fórmula del lenguaje de ZFC (sin el signo
) que, además de las variables
, tiene otras variables libres como parámetros que en
aparecen sustituidas por conjuntos de la forma
(los que acotan las variables ligadas por cuantificadores) o
.
En definitiva, dada una fórmula estratificada
del lenguaje de NFA, hemos encontrado una fórmula
del lenguaje de ZFC tal que
es verdadera en
si y sólo si
, donde los puntos suspensivos representan conjuntos de la forma
o
.
A partir de aquí consideramos una instancia concreta del axioma de formación de conjuntos, es decir, dada una fórmula estratificada
, queremos probar que, dados
, existe un conjunto
tal que para todo objeto
se cumple que
si y sólo si la fórmula
es verdadera en
. Equivalentemente, buscamos un
tal que:
.
Ahora bien, cuando
recorre
tenemos que
recorre
, luego la equivalencia anterior es equivalente a
.
El
que buscamos tiene que ser un elemento de
, es decir, un subconjunto de
, para cualquier
la equivalencia anterior equivale a
.
Una vez más, cuando un conjunto
recorre
, el término
recorre
, luego la condición anterior equivale a
.
Así pues, basta definir
,
que existe por el axioma de especificación de ZC. Esto termina la prueba de que el modelo
cumple el axioma de formación de conjuntos y, por consiguiente, es un modelo de NFA.
La semana que viene demostraremos que
cumple también el axioma de elección. De momento termino contestando una cuestión que planteaba Sailor Starruler, que conjeturaba que en NFA los pares ordenados de átomos deben ser átomos y los de conjuntos conjuntos.
Acabamos de ver que podemos construir un modelo de NFA en el que los pares ordenados nivelados se correspondan con cualquier función inyectiva
prefijada. Si tomamos
biyectiva tenemos un modelo de NFA en el que todos los objetos son pares ordenados. Si, más concretamente, tomamos
como unión de una biyección
y una biyección
, obtenemos un modelo de NFA en el que los pares ordenados de átomos son átomos y los de conjuntos son conjuntos, mientras que si partimos de una biyección
obtenemos un modelo de NFA en el que todos los pares ordenados son átomos. Lo que no podemos conseguir es un modelo de NFA en el que todos los pares ordenados sean conjuntos, pues
, luego no existen inyecciones
. Por otra parte, también podemos diseñar una aplicación inyectiva
que asigne algunos pares de átomos a conjuntos y otros a átomos, y algunos pares de conjuntos a átomos y otros a conjuntos.
Así pues, todas las posibilidades sobre la "naturaleza" de los pares ordenados nivelados son consistentes con los axiomas de NFA excepto que todos sean conjuntos.
