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Estructuras de Dedekind para demostrar la existencia del conjunto de los reales.

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El Teorema 1.19 será probado en este apéndice por medio de la construcción de $\mathbb{R}$ a partir de $\mathbb{Q}$ . Nosotros dividiremos la construcción en varios pasos.

Paso 1 Los miembros de $\mathbb{R}$ serán ciertos subconjuntos de $\mathbb{Q}$ , que llamaremos cortes. Un corte será un subconjunto de $\mathbb{Q}$ que cumpla las siguientes tres propiedades.

(I) $\alpha$ es no vacío y $\alpha$ no es $\mathbb{Q}$ .
(II) Si $p\in{\alpha}$ , $q\in{\mathbb{Q}}$ y

entonces $q\in{\alpha}$ .
(III) Si $p\in{\alpha}$ , entonces

para algún $r\in{\alpha}$ .

Las letras

representarán siempre números racionales, y $\alpha, \beta, \gamma$ representan cortes.
Es de notar que (III) dice simplemente que $\alpha$ no tiene un elemento mayor; (II) implica las dos siguientes afirmaciones, que se usarán con frecuencia:

Si $p\in{\alpha}$ y $q\not\in{\alpha}$ entonces

Si $r\not\in{\alpha}$ y

entonces $s\not\in{\alpha}$

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Paso 2 Se define " $\alpha<\beta$ " para significar que: $\alpha\subset{\beta}$
Verificaremos que cumplen las condiciones de la definición 1.5.

Spoiler: Definición 1.5 (click para mostrar u ocultar)

Si $\alpha<\beta$ y $\beta<\gamma$ es claro que $\alpha<\gamma$ . (Un subconjunto propio de un subconjunto propio es un conjunto propio del conjunto). También es claro que a lo sumo una de las siguientes tres relaciones

$\alpha<\beta, \alpha=\beta, \beta<\alpha$

puede darse. Para mostrar que al menos uno se cumple, asumamos que las dos primeras no se cumplen. Entonces $\alpha$ no es un subconjunto de $\beta$ . Luego, exite un $p\in{\alpha}$ tal que $p\not\in{\beta}$ . Si $q\in{\beta}$ , se sigue que

(ya que $p\not\in{\beta}$ ), así $q\in{\alpha}$ por la condición (II). De donde $\beta\subset{\alpha}$ . Como $\beta\neq{\alpha}$ , concluimos: $\beta<\alpha$ .
Así $\mathbb{R}$ es un conjuntos ordenado.

Paso 3 El conjunto ordenado $\mathbb{R}$ tiene la propiedad de que a cada conjunto $A\subset{R}$ acotado se cumple $sup(A)\in{\mathbb{R}}$ .
Para probar esto, sea

un conjunto no vacío acotado de $\mathbb{R}$ , y asumamos que $\beta\in{\mathbb{R}}$ es una cota superior de

. Definimos $\gamma$ como la unión de todos los $\alpha\in{A}$ . En otras palabras, $p\in{\gamma}$ si y sólo si $p\in{\alpha}$ para algún $\alpha\in{A}$ . Probaremos que $\gamma\in{R}$ y que $\gamma=sup(A)$ .
Como

es no vacío, existe un $\alpha_0\in{A}$ . Donde $\alpha_0$ no vacío. Como $\alpha\subset{\gamma}$ , $\gamma$ es no vacío. Ahora, $\gamma\subset{\beta}$ (por lo que $\alpha\subset{\beta}$ para todo $\alpha\in{A}$ ) de donde $\gamma\neq{\mathbb{Q}}$ . Así $\gamma$ satisface (I). Para probar (II) y (III), escogemos $p\in{\gamma}$ . Tenemos $p\in{\alpha_1}$ para algún $\alpha_1\in{A}$ . Si

, entonces $q\in{\alpha_1}$ , concluyendo $q\in{\gamma}$ ; esto prueba (II). Si $r\in{\alpha_1}$ es escogido de tal modo que

, evidentemente tenemos $r\in{\gamma}$ , lo que prueba que satisface (III).
Todo esto prueba que $\gamma$ es un corte.
Es claro que $\alpha\leq{\gamma}$ para todo $\alpha\in{A}$ .
Supongamos que $\delta<\gamma$ . Entonces existe un $s\in{\gamma}$ y que $s\not\in{\delta}$ . Como $s\in{\gamma}$ existe $s\in{\alpha}$ para algún $\alpha\in{A}$ . Por lo que $\delta<\alpha$ y $\beta$ no es una cota superior de

.
Lo que nos da el siguiente resultado: $\gamma=sup(A)$ .

	Autor	Tema: Número 1. (2012) - 1. Estructuras de Dedekind para demostrar la existencia de R (Leído 892 veces)
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