Un grupo no trivial con subgrupo no trivial es un grupo cíclico, finito, primo.

[lindtaylor]

Buenas, no logro ver la parte de que el orden de es primo, pongo la demostración de libro MICHIO SUZUKI.

Teorema: Un grupo , que no tiene subgrupos no triviales es un grupo ciclico de orden primo.

Dem: Sea no primo . Entonces, para se tiene que y
Así, tiene orden . Esto implica que contrario a lo asumido. Por tanto primo.

No veo la contradicción en , cuál es?

Es porque entonces tendría un subgrupo distinto del trivial, cierto?

Desde ya gracias.

Título corregido: No es ciclico, es cíclico

[filomates]

¡Hola lindtaylor! a ver si puedo responder y lo hago correctamente
Buenas, no logro ver la parte de que el orden de es primo, pongo la demostración de libro MICHIO SUZUKI.

No veo la contradicción en , cuál es?

Es porque entonces tendría un subgrupo distinto del trivial, cierto?

Creo que tienes razón porque   sería un subgrupo de G no trivial (no coincide con {e} porque y no coincide con G porque su orden es l (ml = k) y l<k) y eso contradice la hipótesis del enunciado de que G no tiene subgrupos no triviales.
Espero que esto sirva.
Saludos

[Tanius]

Hay dos cosas que no entiendo en esta demostración.

1) ¿Por qué ?

2) ¿Por qué tiene orden ? 

[filomates]

¡Hola! Intento responder:

Hay dos cosas que no entiendo en esta demostración.

1) ¿Por qué ?

Creo que porque y l es divisor de k= orden de g. El orden de g es el menor entero positivo para el que y l es menor que k

2) ¿Por qué tiene orden ? 

Creo que porque k=lm y , es decir siendo m el menor entero positivo con esta propiedad, ya que k lo es
¿Aclarado?
Espero que esto sirva
Saludos

[Óscar Matzerath]

Hola,

Yo creo que Tanius tiene razón, y que el problema viene de que la demostración que ha puesto lindtaylor es en realidad un trozo de una demostración mayor. Se supone que se ha demostrado ya que si es un grupo no trivial que no tiene subgrupos propios no triviales, entonces es cíclico (esto es muy fácil de ver, pues si no fuera cíclico, tomando un con , sería un subgrupo no trivial propio, pues h no puede generar a , contradicción).

Ahora, como es cíclico, existe un tal que , y este es justamente el del que se habla en la demostración de lindtaylor, que tal como lo pone parece que salga de la nada. Ahora ya debería quedar todo bien justificado, teniendo en cuenta que no es un elemento arbitrario sino un generador de .

Saludos

[Tanius]

Aaaahhhh, eso lo explica todo 

[camiloarosemena]

Saludos.

Pues el problema se resuelve facilmente usando el teorema de Cauchy (Si es un grupo de
orden divisible por un número primo , entonces contiene un elemento de orden p).