U. T. de Fermat. : hacia métodos directos de demostración

[racedom]

EL UTF PARA LOS CUBOS

En los cuadrados es un hecho la terna pitagórica:   Esta ecuación recoge TODAS las ternas pitagóricas, absolutamente todas y cada una.
Sea   De donde , que es otra terna distinta a la inicial que recoge TODAS y, por tanto, hemos llegado al absurdo. ¿Dónde el error? El error radica en haber supuesto que cuando entonces es posible
No, no es posible. Si entonces , que no es un cuadrado. Y esto sucede siempre, en todas las ternas pitagóricas.
Las ecuaciones y son incompatibles en el sentido de que si una es verdadera entonces la otra es falsa. 

Digamos esto mismo con respecto a los cubos:
representa a TODAS las hipotéticas ternas cúbicas.
Sea   De donde , que es otra terna distinta a la inicial que recoge TODAS y, por tanto, hemos llegado al absurdo.
¿Dónde el error? Tiene que estar en una de las dos ecuaciones o en las dos.

Ergo el error está en la primera ecuación y como la primera ecuación nos representa a todas las hipotéticas ternas cúbicas, hay que concluir que la conjetura de Fermat concretada en la tercera potencia es conforme a la verdad.

[malboro]

Esto es interesante.
Saludos.

[racedom]

Saludos Malboro

"Esto es interesante.
 Saludos"

Supongo que te refieres al argumento contiguo con respecto al UTF concretado en los cubos.
¿Por qué el silencio?
Respuesta: Porque es lo congruente y casi inevitable.
Y es un silencio casi forzoso porque no se ve dónde está el error y sí se ve, con radical evidencia, que el argumento tiene que, tiene que y tiene que ser erróneo y, por tanto, tiene que, tiene que y tiene que ser un sofisma, más o menos burdo.
Es absurdo, y es absurdo hasta el fin del fin pretender que el argumento fuera conforme a la verdad porque entonces habría que dar con la razón del por qué no se ha repetido hasta la saciedad dado que su nivel es elementalísimo. Claro que aunque fuera erróneo y dado que tiene visos de ser auténtico razonamiento, entonces también habría que aclarar el por qué entre los incontables millares de aficionados y no tan aficionados no se ha repetido unos cuantos centenares de veces.
Esta es la cuestión y es que el anterior argumento tiene un cierto tufillo de ser una mera excusa para decir algo más importante.
Al fin y al cabo puestos los númeos triangulares, en el acto queda demostrado el teorema para los cubos.
Y me parece a mí que esta otra demostración igualmente elemental tampoco abunda entre los profesionales y aficionados.
Al fin y al cabo no deja de tener un fuerte sabor a incongruencia echar mano de los números imaginarios en un teorema que por definición se limita a los números enteros.
Si estamos ante un teorema de Fermat, ¿no hubiera sido pedagógico comenzar por los otros problemas de Fermat? ¿Qué ocurriría si fueran problemas de simple estructura? En ese supuesto lo razonable sería que su último teorema también fuera un problema de simple estructura en el seno de los números enteros.

Saludos,

[racedom]

DEMOSTRACIÓN UTF PARA TODOS LOS EXPONENTES PARES

Su demostración es simplemente cuestión de estructura.

Los números triangulares, elevados al cuadrado, se hacen presentes en la terna pitagórica cuando la diferencia entre el número del segundo término y el número par es la unidad.






..........................
Los números triangulares se hacen presentes en la diferencia de cubos sucesivos:







........................................
Parece, pues, razonable pensar que estos números triangulares pueden ser camino adecuado para demostrar la verdad del teorema con respecto a los exponentes pares y con respecto a los cubos.
Limitémonos, por ahora, a los exponentes pares.
(1), 3, (6, 10), 15, 21, 28, (36, 45), 55, 66, 78, 91, 105, (120, 136), 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, (300, 325), 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, (630, 666), 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, (1176, 1225), 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, (2016, 2080), 2145, 2211, 2778, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, (3240, 3321), 3403, 3486, 3570, 3655, 3741, 3828, 3916, 4005, 4095, 4186, 4278, 4371, 4465, 4560, 4656, 4753, 4851, (4950, 5050), 5151, 5253, 5356, 5460, 5565, 5671, 5778, 5886, 5995, 6105, 6216, 6328, 6441, 6555, 6670, 6786, 6903, 7021, 7140, (7260, 7381), 7503, 7626, 7750, 7875, ........
Como se ve el número de números triangulares que va entre potencia y potencia es siempre un número impar y para las cuartas potencias su serie es 1, 3, 5, 7, 9, 11.....
     1  3  5  7  9
        2  2  2  2=2!

Sexta potencia:
Entre paréntesis ponemos el número de orden en la lista que tiene cada número concreto.
Entre el 1 y el 7 hay 5
Entre el 26 y el 8 hay 17
  Entre el 63 y el 27 hay 35
Entre el 124 y el 64 hay 59
Entre 215 y 125 hay 89
Entre 342 y 216 hay 125

                                5  17  35  59  89  125
                                   12  18  24  30  36
                                       6    6    6   6=3!       
                                     
Potencia 10

Entre 31 y 1 hay 29
Entre 242 y 32 hay 209
Entre 1023 y 243;  hay 779
Entre 3124 y 1024  hay 2099
Entre 7775 y 3125  hay 4649
Entre 16806 y 7776  hay 9029
                       29   209   779   2099   4649   9029
                           180   570   1320   2550   4380
                                 390   750     1230   1830
                                       360    480     600
                                               120    120=5!

Potencia 14

Hay 125
Hay 2057
Hay 14195
Hay 61739
Hay 201809
Hay 543605
Hay 1273607
Hay 2685815


       125   2057   14195   61739   201809   543605   1273607   2685815   
             1932   12138   47544  140070  341796   730002    1412208
                   10206    35406   92526   201726   388206   682206
                             25200   57120   109200   186480   294000
                                      31920   52080   77280     107520
                                               20160    25200   30240
                                                      5040   5040=7!

Todas y cada una de las potencias pares superiores al dos se forman por la suma de dos números triangulares sucesivos, y, por tanto,  podemos concluir y concluimos que todas y cada una (excepto la unidad) quedan asociadas a un número impar, en concreto al impar de números triangulares que la separa de la anterior potencia, y dado que impar+impar no nos lleva a otro impar, hay que concluir que la conjetura de Fermat para todos los exponentes pares mayores que el dos es cierta.


OBSERVACIÓN:
Decisivo es que aparezcan TODOS Y CADA UNO de los números naturales elevados a toda potencia par superior al dos, y aunque eso ocurre también en los cuadrados y cubos, como hemos visto, este argumento no vale para ellos porque cada número, excepto el uno, es utilizado dos veces, es decir, que en estos dos casos la serie monta sobre sí misma.

[racedom]

EL UTF  concretado en los cubos.

Como estamos ante un problema matemático parece pedagógico comenzar diciendo qué entendemos por matemáticas. Para mi la matemática es la expresión más sintética y más bella de la congruencia del pensamiento consigo mismo.
Partiendo, pues, de este concepto de lo que es la matemática no queda más remedio que hacer constituir su piedra angular en la congruencia.
El UTF se fundamenta en la terna: A+B=C, lo que nos permite decir que C-B=A, lo que nos permite la transformación en producto sin salirnos de los números enteros.
¿Por qué en la serie de los números naturales siempre la suma de dos términos nos lleva a otro término de la misma serie? La respuesta es evidente: Porque dicha serie va de uno en uno.
Vayamos a los cuadrados Todos los números impares y, por tanto, todos los números impares elevados a cualquier exponente de número natural.
Es, pues, evidente que el caso más favorable en el UTF es cuando estamos en presencia de
Vayamos, pues, a los cubos en su caso más favorable:
, cuya estrucura es 6N+1, y dando a A los sucesivos valores de los números naturales tenemos: 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ...en donde N va tomando los valores de los números triangulares:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 408, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666,....
(Tal vez no sea mera curiosidad que en la serie aparezcan los números 6, 66 y 666, que dista 36 de su anterior y por tanto ocupa el lugar 36 en la lista.)
Es claro que la estructura de los números triangulares es n(2n-1), n(2n+1)
Dado que la matemática y la congruencia son términos sinónimos, parece que hay que concluir que si los números triangulares han surgido de la diferencia de cubos sucesivos (caso no sólo el más sencillo sino que si los demás casos fueran posibles lo serían por ser éste posible), entonces la demostración del teorema para los cubos debe caminar del brazo de los números triangulares.

                                    1.1
                                1.3
                            2.3
                       2.5
                        3.5
                        3.7
                        4.7
                        4.9
                      5.9
                      5.11
                      6.11
............................................................
Estamos, pues, en presencia de la estructura:





....................
En donde los números A-B,son sucesivos en la serie de números triangulares.
En donde los números C-D son sucesivos en la serie de números triangulares
En donde los números E-F son sucesivos en la serie de números triangulares
En donde los números G-H son sucesivos en la serie de números triangulares
En donde los números M-N son sucesivos en la serie de números triangulares
...............................
La piedra angular es que salen todos y cada uno de los cubos y, por tanto, la suma de los cubos del segundo término de la ecuación nos lleva a todas las sumas posibles de dos cubos para dar o no dar como resultado otro cubo.
¿Qué debe suceder para que la suma de dos cubos nos lleve a un tercer cubo?
Deben suceder tres cosas a la vez porque cada una aunque necesaria no suficiente:
1.- Que la suma de dos cualesquiera cuadrados del primer término del primer miembro de la terna (por ejemplo nos lleve a otro cuadrado cuya base debe ser un número triangular (por ejemplo siendo T un número triangular).
2.- Que la suma de los dos correspondientes cuadrados del segundo término del primer miembro de la terna (esto es  nos lleve a otro cuadrado cuya base debe ser un número triangular (por ejemplo siendo K un número triangular).
3.- Que estos dos nuevos cuadrados sean sucesivos en la serie de los números triangulares.
Si estas tres condiciones se cumplen entonces se da la condición necesaria y suficiente para que la suma de dos cualesquiera cubos se iguale a la diferencia de estos dos nuevos cuadrados sucesivos que es otro cubo. Si esto se cumpliera la conjetura de Fermat sería falsa.
Dicho lo anterior es necesario que la estructura de los números triangulares tenga la estructura de la terna pitagórica. Necesario, mas no suficiente, ya que la triple condición exigible no puede ser cumplida por la simple estructura pitagórica.
Por supuesto que es incongruente pedirle a   lo que ni tan siquiera está al alcance de la terna pitagórica.
La estructura pitagórica es:
Necesario, aunque no suficiente, es que en la estructura de los números triangulares se cumpliera lo siguiente:

       


Que estamos ante diferente estructura es patente en cuanto que el término par de la terna pitagórica es siempre y necesariamente múltiplo de cuatro, lo cual no sucede siempre en la anterior estructura de los números triangulares.
Con los concretos números se ve que partiendo de un número par, múltiplo de cuatro, de los números triangulares siempre se llega a terna pitagórica, pero la cuestión no es esa sino que los tres cuadrados sean de números triangulares.








......................................







...................................................









...................................................

Estamos viendo estructuras en donde se trata de ver que la terna pitagórica no puede estar constituida por tres números triangulares elevados al cuadrado.
¿Y si fuera posible? En ese caso tendríamos una de las tres condiciones necesarias. Ella por si misma no es suficiente.
No suficiente porque también tendría que ser posible con el trio anterior o posterior. Y aunque eso fuera posible, tampoco sería suficiente porque aún faltaría la tercera condición antes dicha.
El fundamento de lo que estamos diciendo son los números triangulares.
¿De dónde surgen en los cubos? Surgen de la diferencia de cubos sucesivos y bajo la estructura 6n+1
¿De dónde surgen en los cuadrados? Surgen de la diferencia de cuadrados sucesivos y bajo la estructura  4n. En efecto:







.........................
Y así como en la anterior terna veíamos a los cubos elevados al cuadrado, así en esta otra terna quien vemos elevados al cuadrado son a los números triangulares.
Estamos ante una estructuramatemáticamente estable y, por tanto, lo que veamos en unos concretos ejemplos en el seno de dicha estructura, necesariamente se tiene que ver en toda ella.
Tres ejemplos.
I.-
   

( nos lleva fuera de los enteros, pero aun suponiendo que la diferencia fuera de número entero tendríamos una diferencia de 26 y nos lleva a 22.(tendría que ser 26 ya que el cubo que siempre sale es la diferencia de las bases de los cuadrados sucesivos).
II.-
       

nos lleva fuera de los enteros, pero aun suponiendo que la diferencia fuera de número entero tendríamos una diferencia de 37 y nos lleva a 34.(tendría que ser 37).
III.-
       

nos lleva fuera de los enteros, pero aun suponiendo que la diferencia fuera de número entero tendríamos una diferencia de 64 y nos lleva a 60.(tendría que ser 64).
Siempre el resultado es menor del que tendría que ser (lo cual es inevitable dado que el cubo es mayor potencia que el cuadrado) y esto en el supuesto de estar en ambos casos ante número entero.
Estamos relacionando los cubos con los cuadrados y al pronto se ve que ningún número triangular, y precisamente por serlo, puede ser un cubo. La estructura n(2n+1) o n(2n-1) no nos puede llevar a un cubo y sí nos lleva a esta estructura:








.......................................
Esta estructura es decisiva ya que los dos últimos términos de la ecuación son números triangulares sucesivos y eso ocurre precisamente cuando el primer término es un cubo, es decir, un número que no puede ser número triangular ya que ni n(2n+1) o n(2n-1) puede ser un cubo. Queda, pues, demostrado que no se pueden cumplir las tres condiciones necesarias y a la vez suficientes para que la suma de dos cubos nos lleve a otro cubo.
En resumen: La relación entre los cuadrados y los cubos es la relación existente entre el espacio de dos dimensiones y el espacio de tres dimensiones.
La primera terna pitagórica tiene su continuidad en el espacio en la cuaterna fermatiana:
Pretender, pues, que la suma de dos cubos nos lleve a otro cubo es lo mismo que pretender que el volumen y la superficie se identifiquen.
Tal vez sea bueno recordar que el teorema de Pitágoras en ante todo y sobre todo un teorema de geometría del plano y tan solo por derivación es un problema aritmético.
En realidad no es un simple hecho que tan solo es posible cuando el exponente es el número dos, sino que es un derecho ya que no sólo es así, sino que existe la razón del porqué es y tiene que ser así: Porque el número dos y tan solo el número dos hace congruente en si mismo las operaciones de suma, producto y potencia:

[racedom]

LA CUARTA POTENCIA.....Y ALGO MÁS.

Observación previa: Cuando uno pretende demostrar un problema lo primero, lo imprescindible es entender el enunciado del problema.
Cuando uno, pues, pretende demostrar el UTF, aunque no sea en su generalidad sino limitado a concreto exponente, debe tener presente que las definicones se aceptan o se rechazan, pero no se discuten y, por tanto el teorema, por definición, dice así:
El exponente n es el mismo en los otros tres números. Y así:

Es no entender el enunciado del teorema.
Es no entender el enunciado del teorema.
Es no entender el enunciado del teorema.
Es no entender el enunciado del teorema
Es no entender el enunciado del teorema
Es no entender el enunciado del teorema

Por supuesto que es pura y dura ignorancia partir de porque se diga que X es quinta potencia e Y es un cubo 
Por supuesto que es puro y duro disparate partir de porque se diga que
Y es el colmo de los colmos partir de cuando X es número primo.
Repitamos la evidencia: Tan solo entiende el enunciado del UTF quien parte de una terna elevada al mismo exponente.
Pretender, pues, que llegue a auténtica demostración quien ni tan siquiera ha entendido el enunciado es una pretensión imposible y absurda.


I.-  Simple mirada a la terna pitagórica:

Separación :
             
         
         
         
.............................................

Separación :
         
       
       
       
.............................................

Separación :
       
       
       
       
.............................................
.............................................
............................................
Basta MIRAR las ternas pitagóricas para VER que la conjetura de Fermat concretada en esta cuarta potencia es conforme a la verdad.
Claro que eso presupone ver  que toda cuarta potencia es un cuadrado y que, por tanto, si la diferencia de dos cuartas potencias nos llevara a otra cuarta potencia, estaríamos frente a una terna pitagórica.

Dado que la anterior demostración (en realidad, simple mostración) es de bachillerato elemental, corre el grave riesgo de ser rechazada en el acto y tratando de evitarlo vamos a prolongarla añadiéndole un  granito de dificultad.Tal vez así alcance el perdón, por su osadía, de los muy serios matemáticos.

II.- Prolonguemos lo anterior: Dado que lo anterior es ofensivamente sencillo vamos a prolongarlo un poquito y así haciéndolo menos sencillo tal vez pueda ser soportado por el mundo matemático.






.......................................






.......................................






.......................................


Sea cual sea la diferencia entre las bases, par e impar,  la distancia entre los dos factores siempre es: 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98,...=,,,,,,,....
En consecuencia si al primer factor lo representamos por la letra A, entonces el segundo factor será: y el producto de ambos factores será . Y como toda cuarta potencia es un cuadrado hay que igualar estos dos factores a un cuadrado Condición necesaria, mas no suficiente, es que el producto de ambos factores sea un cuadrado ya que la condición necesaria y suficiente es que este cuadrado, a su vez, sea un cuadrado. Dado que para llegar a la cuarta potencia es preciso pasar por el cuadrado, bueno será llegar a este previo cuadrado.

De esta igualdad originaria proceden sus infinitas derivadas:




..................................


De esta igualdad originaria proceden sus infinitas derivadas


..................................

Está claro que lo que nos interesa es la sucesión de las igualdades originarias, que continúan así:










..................................................
¿Qué nos falta? Nos falta demostrar que estos cuadrados finales no pueden ser, a su vez, cuadrados.
¿Cómo hacerlo? Tan solo puedo hacerlo mediante una estructura matemáticamente estable que, por serlo, demuestra lo que muestra.
¿Cómo hacerlo? Por el único camino que puedo recorrer: Mirando a los concretos números que nos han salido:










.........................

                            2   4   10   24   58   140   338   816   1970   4756
                                2   6    14   34    82   198   478    1154   2786
                                   4     8     20   48   116   280   676    1632
                                       4     12    28    68   164   396    956
                                           8      16    40    96    232    560
                                                8       24    56   136   328
                                                      16     32    80   192
                                                            16    48    182
                                                                 32     64
                                                                       32

Se ve que hay una estructura y las parejas 2-2,4-4,8-8,16-16,32-32,...son el resultado del sucesivo +1, -1.


III.- Camino inevitable:
Cuando uno pretende demostrar el UTF concretado en la cuarta potencia se ve forzado a acudir a la estructura de la terna pitagórica.
La estructura de la terna pitagórica es ergo si se quiere ver si posible o no es posible   no queda más remedio que ver la posibilidad o imposibilidad de ;;

2a=X.X/(a+b)+(a+b). Y como tenemos que mantenernos en los números enteros no queda más remedio que concluir que X es igual a (a+b) o es su múltiplo. No olvidemos que todo número entero está formado por producto de números primos.
El resultado final es que 2a=2n(a+b), lo cual es imposible ni tan siquiera cuando n=1.

Digamos esto mismo acudiendo, como a mí me gusta, a los sencillos números naturales.Nos preguntamos si cuando , puede ser , lo que nos lleva a que , siendo C y D números impares.




...................................





...................................





...................................





...................................
Y así indefinidamente.

Observación final: Of course que lo pretendido en esta entrega no es tanto la demostración de la cuarta potencia cuanto lo dicho en la observación previa.
¿Por qué? ¿Tiene algo que ver con la demostración de Andrew Wiles?
Espero y deseo que, al respecto, reflexione el lector venciendo su prejuicio matemático, es decir, luchando contra el tremendo peso del argumento de autoridad.
Frente a la verdad nada importa ser Agamenón  o ser su porquero.

[argentinator]