Vector tangente a la curva...

[Lolyta]

Hola a todos.
Cómo encuentro el vector tangete a la curva en el punto

Si es posible me gustaría que me explicaran cómo resolverlo usando el gradiente de la curva (si no se puede usar pues entonces de cualquier otra manera).
Muchísimas gracias.

[pabloN]

Parametriza la curva. Sea la parametrización con un cierto intervalo. Luego halla y evalúa este vector en que cumple .

Saludos

[alucard]

Hola si entendi bien lo que necesitas :

Tenés definida



calcula el gradiente de , el vector director de la recta tangente a la curva generada por la intersección de  las superficies

vendrá dado por producto vectorial:

evaluado en el punto dado

saludos

[Lolyta]

Muchas gracias. Después de hacer las cuentas me sale que el vector es , ¿cómo compruebo que es tangente a la intersección de ambas superficies, es decir, a la curva ?
Es decir, lo que quiero hacer es la comprobación del ejercicio (si es que se puede).

Gracias!!!

[jbgg]

¿cómo compruebo que es tangente a la intersección de ambas curvas, es decir, a ?

No sé si es un despiste, por eso te lo comento. Es una intersección de superficies. Y la intersección es una curva.

Para comprobarlo podrías probar que el vector es tangente a ambas superficies.

[Lolyta]

No sé si es un despiste, por eso te lo comento. Es una intersección de superficies. Y la intersección es una curva.
Para comprobarlo podrías probar que el vector es tangente a ambas superficies.

Gracias, si es un despiste, voy a corregirlo.
La pregunta es esa, cómo pruebo que el vector es tangente a una de ellas. Osea, en general, ¿qué hay que comprobar para ver que un vector es tangente a una superficie?.
Gracias

[jbgg]

cómo pruebo que el vector es tangente a una de ellas. Osea, en general, ¿qué hay que comprobar para ver que un vector es tangente a una superficie?.

La verdad que depende de las herramientas que sepas. Si sabes comprobar que un vector es tangente a una superficie. Entonces podrías comprobar que ese vector es tangente a las dos superficies y , entonces sería tangente a la curva que definen la intersección.

[pabloN]

Hola Lolyta

Disculpa que mi mensaje haya sido tan escueto.

es un cilindro de generatrices paralelas al eje con eje que pasa por el punto
es la superfice esférica de radio 2.

Es claro que ambas superficies se van a cortar en dos curvas disjuntas, una por encima del plano , y otra por debajo. A nosotros nos interesa aquella con pues el punto queda por encima del plano .

La parametrización más natural es . Puedes chequear que para todo se cumple:

Nota que por lo que el número al que hacía referencia en mi mensaje anterior es .

El vector tangente en un punto genérico viene dado por:



Por último, para hallar el vector tangente en el punto que te piden, basta calcular:



Cualquier otro vector tangente tiene que ser colineal con y el que tú expones no es colineal. ¿Podrías exponer tu solución?

Saludos

[pabloN]

Otro comentario:

¿cómo compruebo que es tangente a la intersección de ambas superficies, es decir, a la curva ?

La ecuación define implícitamente una superficie de generatrices paralelas al eje , no una curva. Ya te lo había hecho notar jbgg. Lo cierto es que esta superficie nada tiene que ver con la curva intersección a la que hace referencia la letra del problema.

La pregunta es esa, cómo pruebo que el vector es tangente a una de ellas. Osea, en general, ¿qué hay que comprobar para ver que un vector es tangente a una superficie?.

Yo agregaría: "¿qué hay que comprobar para ver que un vector es tangente a una superficie en un punto?" Una manera de hacerlo es: si el punto es y el vector tangente es lo que debe pasar es que debe pertenecer al plano tangente a la superficie en .

Entonces, lo que hay que hacer es chequear que pertenece simultáneamente a los planos tangentes a la superficies y en el punto . Si es tangente a las dos superficies, entonces tiene que ser tangente a la curva intersección.

1) Plano tangente a en


2) Plano tangente a en


;
Por lo tanto, y verás que pertenece tanto a como a .

Espero haber aclarado tu duda

Saludos

PD. Usé la misma notación que alucard para y

PPD. Tienes un error de operatoria.

Después de hacer las cuentas me sale que el vector es

Debe ser