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Darío Rivera

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Demostración - Límite del producto de dos funciones

« : 12/12/2011, 02:29:48 am »

Hola, básicamente quiero demostrar que

$\lim_{x\to{a}}f(x)g(x)=\lim_{x\to{a}}f(x)\lim_{x\to{a}}g(x)$

Solución

Es evidente tomar $\delta_1$ y $\delta_2$ tales que

$(\forall\epsilon)(\exists\delta_1)(0<|x-a|<\delta_1\longrightarrow{}|f(x)-L|<\epsilon$

$(\forall\epsilon)(\exists\delta_2)(0<|x-a|<\delta_2\longrightarrow{}|g(x)-L|<\epsilon$

Qué puedo hacer ahora?

Saludos!


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$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=e$

Tanius

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Re: Demostración - Límite del producto de dos funciones

« Respuesta #1 : 12/12/2011, 03:13:37 am »

La demostración no es trivial, requiere un pequeño "truco".
Llama

al límite de

al de

y sea $\epsilon > 0$ . Entonces, aplicando la definición existen $\delta _1 , \delta _2 >0$ tales que

(1) si $0 < \left |{x-a}\right |< \delta _1$ entonces $\left |{f(x)- L_1}\right |<\min \left\{{1, \displaystyle\frac{\epsilon }{2(\left |{ L_2}\right | +1)}}\right\}$

y

(2) si $0 < \left |{x-a}\right |< \delta _2$ entonces $\left |{\red g \black (x)- L_2}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon }{2(\left |{L_1}\right | + 1)}$

Define $\delta = \min \left\{{\delta _1,\delta _2}\right\}$ . Supón que $0<\left |{x-a}\right |<\delta$ .

De (1), puedes concluir que $\left |{f(x)}\right |<1+\left |{L_1}\right |$ y además

${|f(x)g(x)-L_1L_2|=|f(x)(g(x)-L_2) + L_2(f(x)-L_1)|\le |f(x)|\cdot{}|g(x)-L_2|+|L_2|\cdot{|f(x)-L_1|}}$ ...

Termina.


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Darío Rivera

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Re: Demostración - Límite del producto de dos funciones

« Respuesta #2 : 17/12/2011, 02:55:51 pm »

Hola, nunca había tomado algún épsilon como el que has tomado y me cuesta un poco entenderlo.

Cita de: Tanius en 12/12/2011, 03:13:37 am

$\min \left\{{1, \displaystyle\frac{\epsilon }{2(\left |{ L_2}\right | +1)}}\right\}$

En vista de esto no sé como has concluído

Cita de: Tanius en 12/12/2011, 03:13:37 am

De (1), puedes concluir que $\left |{f(x)}\right |<1+\left |{L_1}\right |$ ...

En lo último

$|f(x)|\cdot{}|g(x)-L_2|+|L_2|\cdot{|f(x)-L_1|}\leq{\dfrac{\epsilon}{2}}+|L_2|\cdot{|f(x)-L_1|}$

Pero no he podido llegar a más con $|L_2|\cdot{|f(x)-L_1|}$ por lo mencionado...

Puedes ayudarme a entender este mínimo de épsilon :¿eh?:

Saludos!


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$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}=e$

Tanius

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Re: Demostración - Límite del producto de dos funciones

« Respuesta #3 : 17/12/2011, 05:44:59 pm »

Cita de: Darío Rivera en 17/12/2011, 02:55:51 pm

Hola, nunca había tomado algún épsilon como el que has tomado y me cuesta un poco entenderlo.

Lo importante aquí es que podemos tomar número positivos tan pequeños como queramos, y una vez que resuelvas el problema verás por qué he tomado esos épsilons (claro, también se puede deducir, pero es un poco complicado si apenas empiezas con límites).

Supongamos $0<|x-a|<\delta$ , entonces por (1) $\left |{f(x)- L_1}\right |<\min \left\{{1, \displaystyle\frac{\epsilon }{2(\left |{ L_2}\right | +1)}}\right\}$ .

En particular, $\left |{f(x)- L_1}\right |<1$ , pero $|f(x)|-|L_1|\le |f(x)-L_1|$ y por tanto $\left |{f(x)}\right |<|L_1|+1$ .

Y entonces,

${|f(x)g(x)-L_1L_2|=|f(x)(g(x)-L_2) + L_2(f(x)-L_1)|\le |f(x)|\cdot{}|g(x)-L_2|+|L_2|\cdot{|f(x)-L_1|} < }$

${< (|L_1|+1)\cdot |g(x)-L_2|+(|L_2|+1)\cdot |f(x)-L_1|}$

y usa ahora que $|g(x)-L_2|<\dfrac{\epsilon}{2(|L_1|+1)}$ y $|f(x)-L_1|<\dfrac{\epsilon}{2(|L_2|+1)}$ y termina.


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