Demostración

[deltha]

Puede haber varios isomorfismos entre dos grupos. La identidad, siempre es un isomorfismo de en para cualquier grupo, ya que:


a) Demuestre que si y son primitivos de un grupo entonces la función es un isomorfismo de en .
b) Muestre un isomorfismo de {}, que no sea la identidad. Para mostrar un isomorfismo no es necesario mostrar la tabla de multiplicación si uno puede justificar que . Pero sí se pide que muestre para cada número entre 1 y 16 cuál número entre 1 y 16 es .

[Carlos Ivorra]

Puede haber varios isomorfismos entre dos grupos. La identidad, siempre es un isomorfismo de en para cualquier grupo, ya que:


a) Demuestre que si y son primitivos de un grupo entonces la función es un isomorfismo de en .

La única precaución es que tienes que demostrar que esa ecuación realmente define una aplicación, es decir, que si , entonces , pero no es complicado. Una vez justificado eso, probar que es biyectiva y que  es un homomorfismo es muy sencillo. ¿No te sale?

b) Muestre un isomorfismo de {}, que no sea la identidad. Para mostrar un isomorfismo no es necesario mostrar la tabla de multiplicación si uno puede justificar que . Pero sí se pide que muestre para cada número entre 1 y 16 cuál número entre 1 y 16 es .

No. Basta con que lo definas como en el apartado a). Sólo tienes que encontrar dos generadores distintos del grupo.

[deltha]

Lo cierto es que no puedo demostrarlo aún 

[Carlos Ivorra]

¿Cuál es el problema? Sólo has de tener en cuenta que y tienen el mismo orden (el orden de G) de modo que si y sólo si , y lo mismo vale para . Por lo tanto, es correcto definir , ya que si se cumple que , entonces , luego .

Esto prueba que la aplicación está bien definida. ¿Puedes probar que es un isomorfismo? Comprueba que es biyectiva y que , para todo par de elementos de , que serán de la forma .

[deltha]

Para demostrar la biyectividad:

Es inyectiva? Tomemos dos elementos de sean y entonces:



Como la función va de en entonces para cada elemento distinto le corresponderá una imágen distinta, por lo tanto hay una única relación de elemento a elemento, quedando probado. Hay alguna demostración formal?

Sean y entonces: s.q.d.

Verdadero?

[Carlos Ivorra]

Para demostrar la biyectividad:

Es inyectiva? Tomemos dos elementos de sean y entonces:

¿Por qué dices que ? Supón que y demuestra que necesariamente

Como la función va de en entonces para cada elemento distinto le corresponderá una imágen distinta, por lo tanto hay una única relación de elemento a elemento, quedando probado. Hay alguna demostración formal?

Ciertamente, si tienes una aplicación inyectiva de un conjunto finito en sí mismo, es biyectiva, pero en este caso no cuesta nada comprobar directamente que es suprayectiva: todo elemento de G es de la forma , para cierto , y entonces , luego f es suprayectiva.

Sean y entonces: s.q.d.

Verdadero?

Lo último está bien.

[deltha]

Suponemos

Sea
       
       , absurdo que proviene de haberlos supuestos distintos, entonces queda probada la inyectividad. Correcto?

[Carlos Ivorra]

Suponemos

Sea
       
       , absurdo que proviene de haberlos supuestos distintos, entonces queda probada la inyectividad. Correcto?

No me parece suficientemente detallado. Si tienes , lo que sabes es que , luego , luego , luego .

[deltha]

Me perdí  quién es n?

[Carlos Ivorra]

Me perdí  quién es n?

El orden de . Lo definí en el post en el que te explicaba como comprobar que el isomorfismo está bien definido.

[deltha]

Comprendido 

Ahora para el segundo punto, los posibles primitivos son: 2,3,4,6,8 supongamos que 2 y 4 lo son... Cómo establezco el isomorfismo? Debo encontrar la función verdad? Cómo lo haría?

[Carlos Ivorra]

Comprendido 

Ahora para el segundo punto, los posibles primitivos son: 2,3,4,6,8 supongamos que 2 y 4 lo son... Cómo establezco el isomorfismo? Debo encontrar la función verdad? Cómo lo haría?

Ya lo tienes hecho en el primer punto. Sólo tienes que elegir dos de ellos, por ejemplo 2 y 3, y un isomorfismo distinto de la identidad es el que lleva a .

[deltha]

y no son primitivos, se suponía que cumplen la condición necesaria. Pero gracias a maple pude ver que y son primitivos. Existe alguna relación con el orden para saber que ellos también son candidatos? Pude observar que también , siendo primitivo, ?

Ahora bien tu dices que el isomorfismo es aquel tal que lleva a ? es decir ? No logro entenderlo, ya que según la definición de isomorfismo me dice lo siguiente:

Un grupo es isomorfo a un grupo si existe una función biunívoca entre los elementos de y los de H tq , , he probado que pero no logro ver las "dos operaciones".

[deltha]

Sería en realidad lo siguiente? ( Son las potencias generadas por y la de la derecha por )

[Carlos Ivorra]

y no son primitivos, se suponía que cumplen la condición necesaria. Pero gracias a maple pude ver que y son primitivos. Existe alguna relación con el orden para saber que ellos también son candidatos? Pude observar que también , siendo primitivo, ?

Si es primitivo, entonces es primitivo si y sólo si es primo con el orden de .

Ahora bien tu dices que el isomorfismo es aquel tal que lleva a ? es decir ? No logro entenderlo, ya que según la definición de isomorfismo me dice lo siguiente:

Un grupo es isomorfo a un grupo si existe una función biunívoca entre los elementos de y los de H tq , , he probado que pero no logro ver las "dos operaciones".

Pero si lo has demostrado tú mismo antes:

Sean y entonces: s.q.d.

[deltha]

Creo que no sé responder al ejercicio :S. Qué sería mostrar el isomorfismo? Mostrar la función? O la tabla esa que di en el dibujo?