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Ejercicio 1:Un bolillero contiene bolillas numeradas desde hasta .Se extraen sucesivamente y sin reposición bolillas con ,y se suman sus números obteniendo un total .
(a)Mostrar que $E(X)=\dfrac{k(n+1)}{2}$ .
(b)Mostrar que $Var(X)=\dfrac{k(n+1)(n-k)}{12}$ . Sugerencia: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Ejercicio 2:Sea $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución uniforme en .Definimos $Y_{n}=n^{-X_{n}}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ .
(a)Probar que $Y_{n}\longrightarrow 0$ en probabilidad.
(b)Calcular $P(Y_{n}\geq \alpha \mbox{ para infinitos n}\}$ .Deducir que $(Y_{n})$ no tiene límite casi seguro.
(c)Mostrar que $P(Y^{+}=1,Y^{-}=0)=1$ con $Y^{+}=limsup Y_{n}$ e $Y^{-}$ el límite inferior.

Ejercicio 3:Sea un vector aleatorio en $\{0,1\ldots,n\}\times (0,1)$ tal que para todo $1\leq k\leq n$ ,y $0\leq t\leq 1$ ,se tiene que $P(X=k,Y\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\dfrac{\Gamma(p+q)}{\Gamma(p)\Gamma(q)}\displaystyle\binom{n}{k}y^{p+k-1}(1-y)^{q+n-k-1}dy$ ,con .
(a)Hallar la distribución condicional de y calcular $E(\dfrac{Y}{p+X}).$
(b)Hallar la distribución condicional de y calcular .

Ejercicio 4:Sea $(X_{n})$ una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de densidad $f(x)=\dfrac{4}{\alpha^{2}}x^{-\frac{2}{\alpha}-1}\log(x)\mathbb{I}_{(1,\infty)}(x)$ ,donde $\alpha>0$ .

(a)Probar que $\dfrac{\log(\prod_{k=1}^{n}X_{k})-n\alpha}{\sqrt{\log(\prod_{k=1}^{n}X_{k})}}\longrightarrow Z\sim N(0,\dfrac{\alpha}{2})$ en distribución.
(b)Sea $(V_{n},Y_{n})$ una sucesión de vectores aleatorios tal que para cada ,las variables aleatorias $V_{n},Y_{n}$ son independientes y vale que $V_{n}\longrightarrow V$ , $Y_{n}\longrightarrow Y$ en distribución.Probar que $V_{n}+Y_{n}\longrightarrow V'+Y'$ en distribución,donde son independientes y $V\sim V',Y\sim Y'$ .

	Autor	Tema: Examen de Probabilidad(Esperanza,convergencia,condicionales,Big Numbers Law) (Leído 88 veces)
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