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Autor Tema: Metalógica proposicional: un problema  (Leído 1785 veces)
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Escalona
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« : 21 Enero, 2007, 07:19 »

He encontrado que tres resultados bien conocidos de la metateoría del cálculo de proposiciones parecen contradecirse entre sí.

Consideremos una axiomatización suficiente de este cálculo que le dé las condiciones usuales de corrección, completud (semántica y sintáctica), consistencia, decidibilidad e indepencia. Podría valer una que usase los tres axiomas de Lukasiewicz (axiomas, no esquemas axiomáticos) y como reglas de derivación el Modus Ponens y la Sustitución Uniforme. Ésta última regla dice que en un axioma o teorema podemos sustituir uniformemente cualquier variable atómica por una fórmula bien formada cualquiera y obtenemos un nuevo teorema. Valdría cualquier otra buena axiomatización que incluya Sustitución Uniforme.

LLamemos CP a esta axiomatización.

Los tres resultados metateóricos son los siguientes:

1º. Corrección: si CP deduce A, entonces A es una tautología (para cualquier fórmula A). Este resultado es bien conocido.

2º. Completud sintáctica (débil): si añadimos a CP como axioma cualquier fórmula que CP no deduzca, CP se vuelve inconsistente. Ejemplifiquemos añadiendo la letra atómica 'p':

1. p            axioma añadido
2. p v p
3. -p v -p    por Sustitución Uniforme en 2.
4. -p           
5. p & -p

Para los pasos 2, 3 y 5 recordemos que CP es completo y puede hacer cualquier deducción permitida por el cálculo de deducción natural.

3º. CP+A es inconsistente si y sólo si CP deduce -A (para cualquier fórmula A).

Demostraré sólo que si CP+p deduce -p (y, por tanto, es inconsistente), entonces también CP deduce -p; léase 'CP !- A' como 'CP deduce A'.

1.CP+p !- -p    suposición
2. CP !- p-> -p  teorema de deducción
3 CP !- -p v -p
4. CP !- -p

Bueno, parece que hemos demostrado lo siguiente:

A)  CP+p !- -p
B)  (CP+p !- -p) -> (CP!- -p)

por tanto:

C)  CP !- -p

El problema es que C) está en contradicción con el resultado de corrección, porque '-p' no es una tautología, de modo que CP no la deduce.

No sé dónde he cometido el error. ¿Puede alguien ayudarme?

Muchas gracias.
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LauLuna
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« Respuesta #1 : 22 Enero, 2007, 16:28 »

El problema es realmente sutil. Lo he llevado en mi versión a otros foros. Parece que el error está aquí:

>1.CP+p !- -p    suposición
>2. CP !- p-> -p  teorema de deducción

Esta no es una aplicación válida del teorema de deducción.

El teorema de deducción dice que si A es una consecuencia lógica de un conjunto C(P) cualquiera de fórmulas de primer orden que contiene a P, entonces P-> A es consecuencia lógica de C menos P; utilizando símbolos semejantes a los tuyos represento la relación de consecuencia lógica por "!="; tenemos entonces:

(C(P) != A) -> (C-P != P -> A)

Ahora bien no es cierto que "-p" sea consecuencia lógica de CP+p, aunque "-p" sea formalmente deducible de CP. Es decir, tenemos:

CP+p !- -p

pero no tenemos:

CP+p != -p

Esto es así porque la regla de substitución uniforme sólo preserva la consecuencia lógica cuando se aplica a tautologías, de modo que si añades "p" (que no es una tautología) a CP y le aplicas esa regla, sucede que la deducción ya no va pareja con la consecuencia lógica sino que, por decirlo así, va más allá de ella.

En otras axiomatizaciones de la lógica proposicional se utilizan esquemas axiomáticos en lugar de axiomas y entonces no hace falta la regla de substitución uniforme. Para esas axiomatizaciones los resultados de completud y corrección aseguran que la deducibilidad (tu "!-") y la consecuencia lógica (mi "!=") coincidan siempre. Pero con la regla de substitución uniforme esa coincidencia se pierde cuando podemos aplicarla a fórmulas que no son tautologías.

Al no poder aplicar el teorema de deducción, tenemos "CP+p !- -p" pero no tenemos "CP !- -p".

¿He conseguido explicarme?




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Escalona
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« Respuesta #2 : 22 Enero, 2007, 20:48 »

Sí, creo que te has explicado perfectamente.

Como la axiomatización CP que yo proponía es correcta y completa, pensé que el teorema de inducción se aplicaba igualmente a la capacidad deductiva de CP. Ahora veo que no.

Dices que lo has enviado a otros foros. ¿Puedo preguntar a cuáles?

Muchas gracias
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