Serie

[calculina]

Hola, no se mucho sobre series, alguien podría ayudarme con esta:



Muchas gracias a todos.
Un saludo.

[pabloN]

Recuerda que si y son series de términos positivos tales que entonces y son de la misma clase. Ahora, ¿qué serie conoces o has estudiado que es divergente y es equivalente con ésta?

Saludos.

PD. Asumo ahí que es un natural (fijo).

[calculina]

Hola gracias por tu rápida respuesta. Aunque el problema también es que no identifico bien otras series equivalentes. A mi me parece que la serie armónica 1/n se le parece pero imagino que me confundo.

Gracias.

[pabloN]

A mi me parece que la serie armónica 1/n se le parece pero imagino que me confundo.
Gracias.

Correcto. Cuando dices "se le parece" te refieres a que son casi lo mismo en el infinito, es decir, . Por tanto, es de la misma clase que . Como la primera diverge, la segunda también.

Saludos

[calculina]

Hola muchas gracias por la respuesta. Pero acabo de mirar el enunciado de nuevo y creo que me faltaba comentar algo, se trataba de calcular el límite de la serie cuando n tiende a infinito por lo tanto n no es un natural. No se si varía entonces el resultado.

Perdón por la equivocación y gracias por las respuestas.
Un saludo.

[calculina]

El enunciado es:

Saludos

[pabloN]

mmm.. Eso cambia las cosas.. Si no me equivoco, ahora ese límite da finito, pero para justificarlo la manera que se me ocurre es haciendo uso de algunas funciones usadas en probabilidad.

Dame un tiempo.

[calculina]

Todo el tiempo que necesites.
Gracias.

[pabloN]

A mí se me ocurre que ese límite puede calcularse haciendo uso de una función que se da en probabilidad y estadísitica que es la función digamma y que se simboliza por . La función digamma verifica que si es un natural, se cumple que:

donde es la constante de Euler-Mascheroni. Primero te aconsejo que verifiques que: . Por tanto . Entonces . Ahora usa que la función digamma tiende a la función logarítmica y concluye.

Saludos.

PD. Sí, el límite da finito.

[erikmat]

Hola, viendo el problema me surgió una duda, porque no puede expresarse como:

[calculina]

Hola. Gracias por las respuestas aunque debo seguir mirando. Para la primera respuesta, no he dado tanto en matemáticas por lo tanto creo que podrá hacerse de una forma más sencilla de todas formas muchas gracias, la he leído varias veces. A la segunda, tu respuesta es obvia pero 0 no está entre los posibles resultados, a mi también me había parecido eso.
Por si alguien sabe aportar algo más repito el enunciado:

 

Muchas gracias a todos.
Un saludo.

[pabloN]

Hola, viendo el problema me surgió una duda, porque no puede expresarse como:

El teorema que afirma que el límite de la suma es la suma de los límites vale siempre y cuando haya una cantidad finita de sumandos. Ahí estás haciendo tender a infinito. Respecto a lo que dice calculina es cierto, seguro hay otra forma que no haga uso de la función digamma. Intenté aplicar el criterio de Stolzs expresando eso como el cociente de dos sucesiones y no funcionó, por lo menos no me quedaron expresiones fáciles de ver cuál es el límite. Entonces recordé esa propiedad de la función digamma, que mi profesor había mencionado en la clase de probabilidad, y ahí sale bastante fácil puesto que:

Para mí ese debiera ser el resultado. Me gustaría poder hacerlo de otra manera para corroborar que efectivamente el límite da eso, pero por el momento no se me ocurre. Si otro puede ayudarnos, gracias de antemano.

Saludos

[pabloN]

A la segunda, tu respuesta es obvia pero 0 no está entre los posibles resultados.

¿Los tienes ahí a los resultados? ¿Qué da?

[héctor manuel]

Yo propongo una suma de Riemman:



Saludos.

[pabloN]

¡Genial! Simple, elegante.

¡Gracias!

[calculina]

Hola, muchas gracias a todos por las respuestas. Muy interesantes. Tengo una duda, como pasas del segundo al tercer paso Héctor, es decir de la suma a la integral.

Gracias de nuevo.
Saludos.

[pabloN]

Es la definición de integral de Riemman. Si te tomas una partición del intervalo que sea y llamas se tiene que:
. Nota que para todo (pues los puntos de la partición están equiespaciados) y por otra parte, .

Saludos