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Dany

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« : 19/11/2011, 10:42:45 pm »

Sea

un grupo y $x\in{G}$ . Dado $n \in{\mathbb{Z}}$ se define

por:

$x^n=\begin{Bmatrix}{ e}&\mbox{ si }& n=0\\x^{n-1}\cdot{}x & \mbox{si}& n>0\\(x^{-n})^{-1} & \mbox{si}& n<0\end{matrix}$

Probar que:

a) $x^k\cdot{}x=x^{k+1}$ para todo $k\in{\mathbb{Z}}$
b) $x^m\cdot{}x^n=x^{m+n}$ para todo $m,n\in{\mathbb{Z}}$
c) $(x^m)^n=x^{mn}$ para todo $m,n\in{\mathbb{Z}}$

Muchas gracias a todos por su ayuda.


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Tanius

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Re: Grupo

« Respuesta #1 : 19/11/2011, 10:53:03 pm »

a) Es inmediato de la definición.
b) y c) Utiliza inducción sobre

mientras

es fijo.


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serpa

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Re: Grupo

« Respuesta #2 : 20/11/2011, 12:16:26 am »

Hola. Cabe agregar que hay que tener en cuenta que k también puede ser negativo, asi que lo mejor es que se demuestre por casos; cuando

, cuando

y cuando

.

Saludos.


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Dany

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Re: Grupo

« Respuesta #3 : 20/11/2011, 05:58:00 pm »

Cita de: serpa en 20/11/2011, 12:16:26 am

Hola. Cabe agregar que hay que tener en cuenta que k también puede ser negativo, asi que lo mejor es que se demuestre por casos; cuando

, cuando

y cuando

.

Saludos.

Muchas gracias por sus respuestas, la parte a) se me ha complicado pues no llego a la igualdad para

. Agradezco su ayuda.


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Dany

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Re: Grupo

« Respuesta #4 : 20/11/2011, 07:02:13 pm »

Cita de: Tanius en 19/11/2011, 10:53:03 pm

a) Es inmediato de la definición.
b) y c) Utiliza inducción sobre

mientras

es fijo.

Tengo una duda es que la inducción se puede utilizar en números naturales solamente, y en ste caso son enteros.

Muchas gracias por su ayuda.


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Re: Grupo

« Respuesta #5 : 21/11/2011, 09:25:36 am »

Para el caso en el que

Nota que si

se tiene que

$x^{k+1}=x^0=x^{-1}x$ . Supongamos ahora que $k\leq{-2}$ , entonces

$x^{k}x=(x^{-k})^{-1}x=(x^{-1}x^{-k})^{-1}$ , puedes probar por inducción sobre -k que $(x^{-1}x^{-k})=x^{-k-1}$ . Luego intenta concluir.
Nota que si

, por definición de potencia se tiene

$x^{-k}=(x^k)^{-1}$ .

Si

se tiene

$(x^k)^{-1}=((x^{-k})^{-1})^{-1}=x^{-k}$

Luego $x^{-k}=(x^k){-1}$ , para todo $k\in{\mathbb{Z}}$ .

Saludos


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Re: Grupo

« Respuesta #6 : 27/11/2011, 02:45:30 pm »

Cita de: serpa en 21/11/2011, 09:25:36 am

Para el caso en el que

Nota que si

, por definición de potencia se tiene

$x^{-k}=(x^k)^{-1}$ .

Si

se tiene

$(x^k)^{-1}=((x^{-k})^{-1})^{-1}=x^{-k}$

Luego $x^{-k}=(x^k){-1}$ , para todo $k\in{\mathbb{Z}}$ .

Saludos

Muchas gracias por la ayuda.


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Re: Grupo

« Respuesta #7 : 27/11/2011, 04:39:15 pm »

Cita de: Tanius en 19/11/2011, 10:53:03 pm

a) Es inmediato de la definición.
b) y c) Utiliza inducción sobre

mientras

es fijo.

Me podría ayudar a demostrarlo por inducción es que no entiendo cómo =( porfavor

Gracias


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