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Petra12

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aproximaciones de Picard

« : 16/11/2011, 05:50:33 pm »

Hola, me piden que calcule la solución de este problema por aproximaciones de Picard. Todavía no hemos hecho ningún ejemplo, y mirando la teoría esto es lo que he conseguido, ¿voy bien? ¿cómo lo acabo? gracias
$f\begin{Bmatrix} x^{\prime}=x-1 \\x(0)=2 \end{matrix}$

$x_1(t)=T_{x1}(t)=2+\displaystyle\int_{t_0}^{t}(x-1)ds=2+(x-1)t$
$x_2(t)=T_{x_2}(t)=2+\displaystyle\int_{t0}^{t}(2+(x-1)t)ds=2+2t+(x-1)t^2$
.
.
.
$x_n(t)=T_{x_n}(t)=2+2t+2t^2+...+2t^{n-1}+(x-1)t^n$

¿si voy bien, ahora que tendría que calcular el límite?

saludos
.


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Topolino

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Re: aproximaciones de Picard

« Respuesta #1 : 19/11/2011, 06:05:11 am »

Hola, Petra 12

Tengo la impresión que no lo estas haciendo bien. Creo que debe ser algo así:

$x_1(t)= 2+\displaystyle\int_{0}^{t} (2-1) ds=2+t$
$x_2(t)= 2 +\displaystyle\int_{0}^{t}((2+s)-1)ds=2+t+\displaystyle\frac{t^2}{2}$
$x_3(t)=2+\displaystyle\int_{0}^{t}((2+s+\displaystyle\frac{s^2}{2})-1)ds=2+t+\displaystyle\frac{t^2}{2!}+\displaystyle\frac{t^3}{3!}$ y asi sucesivamente hasta que:
.
.
.
$x_n(t)= 2+t+\displaystyle\frac{t^2}{2!}+...+\displaystyle\frac{t^n}{n!}\Longrightarrow{}$
$\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{} x_n(t) =x=1+e^t$

Saludos
Topolino
Pd. Gracias por escribir este "post" porque tuve que investigar este método de aproximación de Picard que no conocía.


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Petra12

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Re: aproximaciones de Picard

« Respuesta #2 : 20/11/2011, 06:26:53 pm »

Gracias a ti

creo que ya he entendido el proceso, y he podido hacer los demás apartados del ejercicios.
saludos


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