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Autor Tema: Ecuación de calor con condiciones de borde  (Leído 550 veces)
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Ulysses
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« : 29/10/2011, 11:36:40 am »

Hola, estoy teniendo algunos problemas para resolver la ecuación de calor con las siguientes condiciones de borde.

[texx]u(0,t)=f_1(t)[/texx]
[texx]u(x_1,t)=f_2(t)[/texx]
[texx]u(x,0)=f(x)[/texx]
[texx]0<x<x_1[/texx]
[texx]t>0[/texx]
La ecuación de calor: [texx]\frac{\partial u}{\partial t}-k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0[/texx]

Al hacer separación de variables:
[texx]\nu=X(x)T(t)[/texx]
[texx]\frac{T'(t)}{T(t)}=k\frac{X''(x)}{X(x)}[/texx]

Tengo que resolver para X
[texx]kX''(x)-\lambda X(x)=0[/texx]
Con las condiciones de borde:
[texx]X(0)=f_1(t)[/texx]
[texx]X(x_1)=f_2(t)[/texx]

Y para T:
[texx]T'(t)-\lambda T(t)=0[/texx]
Con valor inicial:
[texx]T(0)=f(x)[/texx]

¿Como se resuelve esto?

Saludos.
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HernanV
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« Respuesta #1 : 29/10/2011, 02:03:08 pm »

Hola,

No sé si vieron algo de transformadas de Fourier o de Laplace. Son ideales para este tipo de EDDP. De todos modos, resolviendo mediante separación de variables, en ciertas ocasiones tenes que tener en cuenta que proponer a [texx]\lambda[/texx] como un parámetro a determinar con el cual igualas a [texx]\displaystyle \frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=k\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}[/texx], te lleva únicamente a la solución trivial. En general, yo siempre propongo [texx]-\lambda^{2}[/texx], que simplifica un poco más las cosas.

Te dejo adjunto un PDF en el que está la explicación de cómo se resuelven EDO de 2do orden a coeficientes constantes. Tienes que leer la sección 2.

Cuando en una EDDP tengas las expresiones de las funciones que vienen de las condiciones de borde, o en las condiciones iniciales, tendrás que determinar las soluciones mediante las series de Fourier de las funciones que te den como dato. Esto pasa porque en este tipo de EDDP, siempre aparece algo de la forma [texx]\displaystyle \sin(k\cdot t) = 0[/texx] y tienes infinitas soluciones. Se considera que la solución general, es la superposición de todas, es decir, la serie de Fourier de la función que te den como condición inicial.

Espero que se haya entendido,

Saludos :sonrisa:.


* edo.pdf (249.5 KB - descargado 3622 veces.)
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[texx]\displaystyle\vec{\nabla}\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\vec{0}[/texx]
Ulysses
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« Respuesta #2 : 29/10/2011, 02:18:42 pm »

Encontre la solución en un libro, la verdad no me interesa mucho en este momento entender en profundidad el método de resolución, si no la solución en si, ya que necesito usarla como modelo teorico para un trabajo de laboratorio.

Esta es la solución que da el libro, carslaw, conduction of heat in solids para el problema, donde [texx]\phi_1(x)=f_1(x),\phi_2(x)=\f_2(x)[/texx] y [texx]0<x<l[/texx], o sea, el problema es el que plantee yo, pero en lugar de llamar f a las funciones, las llama fi, lo aclaro porque es fi lo que aparece.

Para que quede claro, el problema que resuelve es:
[texx]u(0,t)=\phi_1(t)[/texx]
[texx]u(l,t)=\phi_2(t)[/texx]
[texx]u(x,0)=f(x)[/texx]
[texx]0<x<l[/texx]
[texx]t>0[/texx]
La ecuación de calor: [texx]\frac{\partial u}{\partial t}-k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0[/texx]

[texx]u=\frac{2}{l} \displaystyle\sum_{0}^{\infty} e^{-kn^2 \pi^2 t/l^2} \sin \frac{n \pi x}{l} \left [ \int_0^l f(x') \sin {n\pi x'}{l}dx'+\frac{nk\pi}{l} \int_0^t e^{kn^2\pi^2\lambda /l^2} \left { \phi_1 (\lambda) -(-1)^n \phi_2(\lambda) \right } d\lambda \right ][/texx]

Ahora, hay un par de cosas que necesito saber que representan. No se que son los x', y no se que son los lambda.
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HernanV
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« Respuesta #3 : 29/10/2011, 02:23:10 pm »

Hola,

¿Quieres entender cómo se resuelve esa EDO, pero sin entender el método de resolución? En fin...

Es simplemente notación. Se cambió de la variable x a lambda para no confundir dentro de la integral y se puso x' por el mismo motivo. La solución es tal cual la copiaste (aunque la integral me parece algo extraña), las funciones las escribiste de forma genérica por algún motivo en especial o su expresión analítica es dato? Porque entenderás que la solución depende de ello.

Saludos :sonrisa:.
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[texx]\displaystyle\vec{\nabla}\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\vec{0}[/texx]
Ulysses
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« Respuesta #4 : 29/10/2011, 02:38:26 pm »

No, todavía no determine esas funciones. Las tengo que determinar a partir de los valores obtenidos experimentalmente. Me interesaba obtener la solución general.

No me interesa detenerme en la resolución de la ecuación diferencial porque lo que quiero es ir rápido a su solución para ver si los resultados que obtuve experimentalmente concuerdan con la curva teorica, todavía tengo algo de tiempo, pero el trabajo lo tengo que entregar la semana que viene y es por este motivo que no quiero detenerme demasiado en la resolución de la ecuación diferencial.

Ok, ya entendí, debería haber mirado con mas detenimiento, son sencillamente variables de integración, gracias Hernan.
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #5 : 29/10/2011, 05:12:39 pm »

Supongo que no tendrás problemas en resolver la EDO de primer orden. La EDO de segundo orden es un problema de Sturm Liouville y frecuentemente aparece cuando se aplica el método de separación de variables.

Puedes revisar un thread acá en el foro al respecto: Problemas Sturm Liouville.

Aunque si no lo has visto en clases puede ser buena idea esperar a que el profesor te lo explique.
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Ulysses
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« Respuesta #6 : 29/10/2011, 06:27:31 pm »

Lo vi el cuatrimestre pasado lo de Sturm Liouville, pasa que todavía no rendí el final, y como decía, no quería detenerme demasiado en esto, solo me interesaba la solución en si, no el procedimiento.

Saludos.
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