Raíces imaginarias

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michel:
Dada la ecuación determinar
a) el intervalo en que debe mantenerse el número real a para que las raíces de esa ecuación sean imaginarias.
b) el lugar geométrico de los puntos representativos de esas raíces en la representación gráfica habitual de los números complejos, cuando a recorre el intervalo anterior.

pepito:
Cita de: michel en 10/09/2011, 11:44:41 am

a) el intervalo en que debe mantenerse el número real a para que las raíces de esa ecuación sean imaginarias.


El único que hace que las raíces sean imaginarias puras (con parte real nula) es . Lo que sigue es para encontrar el intervalo en que debe mantenerse el número real para que las raíces de la ecuación sean complejas no reales.

a) Tiene que ser .

b) Operando se llega a que . Es decir, para cada , las raíces del polinomio son y , ambas de módulo 1. O sea que el lugar geométrico buscado está incluido en la circunferencia de radio 1 y centro 0, menos los puntos 1 y -1, porque esos tienen parte imaginaria 0, lo que nunca ocurre si . Ahora, dado un punto cualquiera en esta circunferencia distinto de 1 y -1, si uno llama a su parte real (notar que se va a tener que ), eso va a hacer que su parte imaginaria sea o bien , y en cualquiera de los dos casos resulta una solución de la ecuación . O sea que el lugar geométrico buscado es .

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