Raíces imaginarias

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michel:
Dada la ecuación [texx]\;\;\;x^2+ax+1=0,\;\;\;[/texx]determinar
a) el intervalo en que debe mantenerse el número real a para que las raíces de esa ecuación sean imaginarias.
b) el lugar geométrico de los puntos representativos de esas raíces en la representación gráfica habitual de los números complejos, cuando a recorre el intervalo anterior.

pepito:
Cita de: michel en 10/09/2011, 11:44:41 am

a) el intervalo en que debe mantenerse el número real a para que las raíces de esa ecuación sean imaginarias.


El único [texx]a[/texx] que hace que las raíces sean imaginarias puras (con parte real nula) es [texx]a=0[/texx]. Lo que sigue es para encontrar el intervalo en que debe mantenerse el número real [texx]a[/texx] para que las raíces de la ecuación sean complejas no reales.

a) Tiene que ser [texx]-2<a<2[/texx].

b) Operando se llega a que [texx]x^2+ax+1=\left(x+\frac a2+i\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}\right)\left(x+\frac a2-i\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}\right)[/texx]. Es decir, para cada [texx]a\in(-2,2)[/texx], las raíces del polinomio son [texx]\frac a2+i\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}[/texx] y [texx]\frac a2-i\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}[/texx], ambas de módulo 1. O sea que el lugar geométrico buscado está incluido en la circunferencia de radio 1 y centro 0, menos los puntos 1 y -1, porque esos tienen parte imaginaria 0, lo que nunca ocurre si [texx]a\in(-2,2)[/texx]. Ahora, dado un punto cualquiera en esta circunferencia distinto de 1 y -1, si uno llama [texx]\frac a2[/texx] a su parte real (notar que se va a tener que [texx]-2<a<2[/texx]), eso va a hacer que su parte imaginaria sea [texx]i\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}[/texx] o bien [texx]-i\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}[/texx], y en cualquiera de los dos casos resulta una solución de la ecuación [texx]x^2+ax+1[/texx]. O sea que el lugar geométrico buscado es [texx]S^1-\mathbb{R}[/texx].

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