Altura, bisectriz y mediana

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michel:
En el triángulo acutángulo ABC, AH, AD y AM son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten de A, estando H, D y M en el lado BC.
Si las longitudes de AB, AC y MD son, respectivamwnte, 11, 8 y 1, calcular la longitud de segmento DH.

michel:
Por el teorema de la bisectriz en el triángulo ABC:[texx]\displaystyle\frac{BD}{11}=\displaystyle\frac{DC}{8}=k[/texx]

Por ser AM la mediana: [texx]BM=MC\Rightarrow{BD-1=1+DC\Rightarrow{11k-1=1+8k\Rightarrow{k=\displaystyle\frac{2}{3}}}}[/texx]

Resulta: [texx]BD=\displaystyle\frac{22}{3},DC=\displaystyle\frac{16}{3}[/texx]

Los triángulos rectángulos ABH y AHC tienen común el lado AH, por lo que

[texx]11^2-(\displaystyle\frac{22}{3}+DH)^2=8^2-(\displaystyle\frac{16}{3}-DH)^2[/texx]

La solución es

[texx]DH=\displaystyle\frac{5}{4}[/texx]
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