Bueno,
si y sólo si es el caso que
siendo
una fórmula fija, que agregue
luego de cada variable, tomaría en cuenta las transliteraciones y variaciones lexicográficas.
Aquí es donde entran en juego los problemas técnicos. Hay que distinguir entre fórmulas metamatemáticas y fórmulas definidas en ZFC como sucesiones de signos. Una cosa es el lenguaje
de la teoría de conjuntos con el que escribes los axiomas y los teoremas, que está formado por signos, como
, etc., y otra cosa es que, al igual que puedes definir en ZFC los conceptos de "número natural", "grupo", "anillo", etc., también puedes definir "el lenguaje
de la teoría de conjuntos" como un cierto conjunto de conjuntos (a los que llamamos signos, igual que llamas puntos a los elementos de un espacio topológico) con los que formar sucesiones. Por ejemplo, puedes establecer que el signo
sea el número natural
, el signo
sea el
, y así establecer todos los convenios necesarios.
Entonces, tienes que distinguir entre la cadena de signos metamatemática
, que no es más que lo que parece, una cadena de signos, y la sucesión de números naturales
, que normalmente escribirás también como
(con el convenio de que
es, por definición, el número
, etc.
Así, una cosa es la fórmula (de verdad)
y otra cosa el conjunto
que es la formalización en ZFC de la fórmula metamatemática
.
Igualmente, no puedes confundir la colección metamatemática de todas las fórmulas del lenguaje de ZFC, que podemos llamar
, y el conjunto
que puedes definir en ZFC, igual que defines
o
que contiene a todas las sucesiones de números naturales que cumplen la definición de fórmula de
.
Así, metamatemáticamente,
es una fórmula de la colección
, mientras que en ZFC puedes demostrar que
.
Entiendo por tus planteamientos que tú pretendes hablar de la definición formal (no metamatemática) de la "verdad" de una fórmula (un elemento de
) en un modelo dado
. Si es así, lo primero que tienes que advertir es que
es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos, pero
no es una fórmula, sino un término sin variables libres (aunque
pueda tenerlas). Tienes escrito
un poco más arriba, es una sucesión de 9 números naturales, es un conjunto concreto, no una afirmación sobre nada.
Tu fórmula original
ssi es el caso que
no tiene sentido, porque, fíjate en que se queda en el caso concreto del ejemplo que te he puesto:
ssi es el caso que
Lo que está a la derecha, no es una afirmación. Definir el término de la izquierda no es coger el de la derecha y añadirle unas cuantas emes, como propones en tu último post, porque aunque cambies
por
(no le busques sentido, he añadido unos cuantos números al azar), aunque añadas unos cuantos números por aquí y por allá, sigues teniendo una cadena de números naturales que sigue sin significar nada.
Definir la verdad en el modelo
es definir una fórmula metamatemática
con dos variables libres,
y
, de modo que cuando
es un modelo y
es una sucesión de números naturales, la fórmula metamatemática
significa que
cumple lo que
pretende significar que cumpla. Ahora viene bien tu frase:
Cierto, pero es justamente el papel que cumplen las palabras "la oración" y "es verdadera", junto a las comillas aplicadas a "la nieve es blanca": distinción entre lenguaje y meta-lenguaje, pero no veo mucho más.
Tienes razón, lo que estamos haciendo es quitar las comillas (o los corchetes) a
, pero sucede que quitar esos corchetes no es trivial, pues supone transformar un conjunto (una sucesión de números naturales) en una afirmación metamatemática.
En todo lo que he dicho he pasado por alto el problema técnico de que, para fórmulas con variables libres, es necesario considerar valoraciones que les asignen un significado, pero creo que entrar en esos tecnicismos simplemente habría desviado la atención de lo esencial.
