Si I es el incentro del triángulo ABC, lo descomponemos en los triángulos IAB, IBC e ICA, cuyas bases son los lados AB, BC y CD, respectivamente, y la altura común es r. Como la suma de las áreas de esos tres triánguos es el área de ABC:
S=cr/2+ar/2+br/2=r(a+b+c)/2=pr.
Los triángulos rectángulos AIE y AIaD son semejantes: AE/AD=IE/IaD.
Como AE=p-a y AD=p (hecho en un problema anterior), resulta (p-a)/p=r/ra, de donde pr=(p-a)ra.
Por tanto, S=(p-a)ra.
Análogamente para las otras expresiones.
