Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

[argentinator]

Hola muchachos.

En cuanto al excesivo rigor, no hay que preocuparse, primero lo que importa es que se estén aplicando los pasos correctos, después hay tiempo para formalizar. Incluso es un proceso automático. Por eso no le doy tanta importancia.

Primero, para intuir cuál es la solución correcta, conviene hacer un diagrama de Venn con los conjuntos A, B, C, e imaginar o marcar en el dibujo lo que significan las hipótesis.

La doble implicación es falsa, sin embargo una de las dos implicaciones es cierta: .

Eso se ve claramente cuando hacen los dibujos... Yo no los voy a hacer.

Eso sirve de guía para lo que hay que demostrar.

Es fácil probar , por lo tanto, si , se tiene, por ser una relación transitiva entre conjuntos, que .

Luego, como es verdadera,
para cualquier otra proposición que uno ponga, sin importar si es verdadera o falsa,
es cierto que .
En particular, pongamos .

O sea, hemos probado que .

____________

En cambio, la implicación es falsa.
Para probarlo, hay que exhibir un contraejemplo, y entonces no hay que hacer toda la deducción que se han puesto a hacer por ahí.
Exhibir el contraejemplo es suficiente.

¿Contraejemplo de qué, cumpliendo qué cosa?

bueno, si lo que uno quiere es un contraejemplo de la implicación ,
tiene que exhibir un ejemplo que cumpla la propiedad P, y al mismo tiempo que no cumpla la propiedad Q.
Esto es así porque el único caso en que es FALSA se da cuando P es VERDADERA y Q es FALSA.

Nosotros necesitamos un contraejemplo para .

Hay que elegir los conjuntos A, B, C convenientemente.

Fijate que con sólo tener Verdadera una de las posibilidades ó , ya es verdadero el antecedente.
Vamos a buscar, por ejemplo, conjuntos A, B tales que , y tal que el C no me importa quién es.

Tengo libertad en elegir el C que más me convenga.
Y obviamente lo voy a elegir de modo que no esté contenido en .

Esto es fácil de conseguir si C se toma DISJUNTO con B, mientras que A y B los tomamos no vacíos.

Hay muchas otras posibilidades, pero he pensado lo más fácil y rápido.

Así que voy a ensayar con .
Con este ejemplo tenemos las condiciones que habíamos estado especulando: es cierta, y por otra parte . Esto nos da que es falso,
porque es FALSO.

(Si fuera verdadero, usaríamos que el vacío es subconjunto de todo conjunto, luego , lo cual implica, por doble inclusión, que )

O sea que el ejemplo propuesto funciona correctamente como el contraejemplo que necesitábamos.

____________________

¿Se entiende la manera en que he argumentado?
¿Se entiende la demostración?
¿Necesitan formalizarla, aclararla mejor, etc.?

Me parece que lo fundamental es entender el razonamiento en la forma en que está presentado, con un lenguaje semicoloquial o semiformal.
Después hay tiempo para formalizar hasta donde uno quiera.
No hay que volverse loco con eso.

Las ideas o pasos de una demostración tienen que ser algo sencillo de entender.
No tiene que ser algo retorcido y rebuscado.

[feriva]

¿Se entiende la manera en que he argumentado?
¿Se entiende la demostración?

Se entiende y me parece muy ingenioso lo de separar la doble implicación.

Saludos.

[Aivan]

¿Contraejemplo de qué, cumpliendo qué cosa?

Claro, mi idea era la de llevar todo a un equivalente de conjuntos y hallar un contraejemplo para ese equivalente, en este caso hallar un contraejemplo para . No sé si está bien, pero era la idea básicamente...

Fijate que con sólo tener Verdadera una de las posibilidades ó , ya es verdadero el antecedente.

Claro, ya había puesto un contraejemplo de esa manera, pero quería ver si se podía hacer de la otra.
____________________

¿Se entiende la manera en que he argumentado?
¿Se entiende la demostración?
¿Necesitan formalizarla, aclararla mejor, etc.?

Claro como el agua 

Gracias Argentinator, saludos.

[argentinator]

  me parece muy ingenioso lo de separar la doble implicación.

Bueno, no es nada ingenioso, sino todo lo contrario.
Es un procedimiento estándar.

Trato de enseñar técnicas que se aplican siempre en forma rutinaria.

La estrategia más corriente al resolver un problema o hacer una demostración es la de divide y vencerás.

Esto quiere decir que al problema inicial se lo subdivide en partes más pequeñas a resolver.
Y cada una de esas partes se la subdivide aún en partes todavía más pequeñas.
Y así sucesivamente, hasta que quedan pequeños problemas que resolver, todos de fácil análisis y resolución.

El modo adecuado de partir un problema en subproblemas puede tener sus variantes,
pero en general esto se aprende, como todo, con la práctica.

Fijate como es que tomé el problema y lo dividí en partecitas, y luego, cuando fue necesario u oportuno, hube de reunir aquellos trocitos que hacía falta poner juntos.

__________________________

A veces parece que a algunas personas las demostraciones matemáticas les parecen algo que tiene que ser necesariamente enroscado, que sólo puede surgir de la genialidad o la cosa complicada, o bien deducciones largas e interminables.

Pero eso en realidad es más bien una excepción.
La mayoría de las veces las deducciones, sobretodo de ejercicio básicos, tienen un procedimiento rutinario, inspirado plenamente en el sentido común y en la intuición de los conjuntos.

Y lo que uno tiene que buscar cuando hace una demostración, es justamente que se pueda reducir a trocitos simples, fáciles de entender intuitivamente, y más o menos fáciles de manejar y resolver.
Porque la demostración tiene que ser clara para un ser humano común y corriente.
No hay que impresionar a Einstein.


_________________________

[feriva]

Bueno, no es nada ingenioso, sino todo lo contrario.
Es un procedimiento estándar.

Es que yo, como tengo poca experiencia en esto, hay métodos habituales que me resultan ingeniosos (y lo son, lo que pasa es que cuando nos acostumbrarnos se convierten en rutina, también nos acostumbramos a encender la luz sin quedarnos con la boca abierta y todavía nadie sabe lo que es en realidad la luz).

No hay que impresionar a Einstein.

 Quién es ése 

Saludos.

[argentinator]

Bueno Aivan.

Con este curso me pasa a menudo que no entiendo la intención de la gente que participa y postea sus cosas.

Se me ha complicado más de lo que imaginaba debido a esto.

Si tenés alguna idea interesante que no supe valorar y se me ha escapado, espero lo sepas disculpar.
Me cuesta desenredar la madeja entre lo que querés hacer y lo que yo pienso que se debe hacer.

Pero en el medio de eso, hay ideas fructíferas de ustedes que se pierden porque no las veo a tiempo.

Hago lo posible por no perder esos detalles.

Lo importante es lograr escribir esas ideas en forma clara, exhaustiva y ordenada, con todo el detalle que haga falta hasta que poder decir "basta", "esto ya se entendió".

[Aivan]

El curso sigue abierto.
A veces me demoro en responder, y les ruego paciencia.

Personalmente no tengo inconvenientes en cuanto te tomes en responder, mi pregunta pasa por el hecho de que es la primera vez que me anoto en un curso del "Rincon Matemático" y no sé bien como se manejan con el tiempo de duración del curso. Simplemente eso...

Saludos

[argentinator]

Es todo muy libre, y depende de cada curso, y de quien lo "dicte".

Yo trato de estar activo tanto como me sea posible.

[Aivan]

Si tenés alguna idea interesante que no supe valorar y se me ha escapado, espero lo sepas disculpar.

Lo importante es lograr escribir esas ideas en forma clara, exhaustiva y ordenada, con todo el detalle que haga falta hasta que poder decir "basta", "esto ya se entendió".

No pasa nada, no hace falta que te disculpes . Es verdad... Voy a hacer énfasis en la explicación exhaustiva de las cosas para que no haya alguna duda alguna.

Es todo muy libre, y depende de cada curso, y de quien lo "dicte".

Yo trato de estar activo tanto como me sea posible.

Genial entonces 

Saludos y gracias Argentinator

[javier m]

Hola

Resulta que tengo mucho tiempo de no entrar en este foro, había empezado a hacer este curso, pero no llegué muy lejos.

Este semestre se me dió por ir a la asignatura de teoría de conjuntos en mi universidad (solo iba a la clase, no la matriculé), el semestre practicamente ya finalizó, y pues, aprendí algo (básico).

Estudiaba con el libro Teoria de Conjuntos y temas afines de lipschutz (y con los apuntes de clase), que si lo conocen ya saben que es bastante básico. Así que de rigor nada, más bien diría que aprendí un poco sobre las ideas principales, pero lo mas probable es que no haya entrado en "el paraíso de cantor".

Pues nada, disculpen que me haya inscrito para al final salir con un chorro de babas.

Saludos.

[argentinator]

No pasa nada, acá nadie se ofende.

En este curso no trabajo con los fundamentos estrictamente formales de conjuntos.
Es un curso básico, y la formalidad la exigimos, eso sí, en las demostraciones.
Si bien es básico, hay ejercicios que tienen dificultad creciente.
El objetivo es tomar agilidad en el manejo de los conjuntos como herramienta, y resolver problemas con ellos.

Podés participar cuando te venga bien.

[Sidarta]

Para reflexionar: ¿Se pueden generalizar las leyes distributivas a familias infinitas de conjuntos? ¿Cuándo y cómo?

Bueno, yo interpreto que para aplicar las leyes distributivas a familias, voy a necesitar tres familias , y .
Las familias infinitas de conjuntos pueden contener conjuntos todos vacíos, pero la intersección de todos ellos no está definida- Por eso las leyes distributivas pueden aplicarse a familias infinitas siempre que sus elementos no sean todos conjuntos vacíos. Ese sería el cuando.

El cómo, supongo que te refieres a cómo se enunciaría. Yo creo que basta con tener al menos un conjunto en cada familia que sea no vacío. Si fuera un número t cualquiera, escribiría , pero no he visto este signo entre conjuntos; así que voy a definir que cada familia sea no vacía con un elemento que no esté incluido en el vacío. No estoy segura que sea sea correcto. Tampoco estoy segura de la manera en que escribí las leyes distributivas.

Sean , y tres familias infinitas de conjuntos definidas como sigue

,
,


entonces las siguientes operaciones están definidas.




Ahora me pregunto, si tuviera una única familia, podría aplicar las leyes distributivas? La respuesta sería sí, porque están definidas la unión y la intersección para los elementos de las familias de conjuntos, con la misma salvedad anterior, que la familia no sea el . Mi pregunta es, ¿el resultado de la operación sería la misma familia? Porque eso es lo que veo cuando intento escribir las leyes-

=

[argentinator]

Me cuesta entender un poco el planteo exacto que estás haciendo.
Las 3 familias que pusiste hacia el final, son familias de conjuntos, pero no tienen ninguna dificultad, dado que las familias de conjuntos son de nuevo conjuntos.

O sea que las igualdades siguientes son correctas:




Sin embargo, cuando pensamos en generalizar leyes distributivas a "familias" lo que estamos hablando es otra cosa.

Fijate que las leyes distributivas enunciadas en la teoría son para "un conjunto respecto otros dos".
Se puedb-nen generalizar a "m conjuntos respecto otros n", haciendo así:



(y algo análogo para intersecciones respecto uniones).

He ahí dos familias finitas de conjuntos:

Si la familia es infinita, tomamos la unión, e intersectamos contra un solo conjunto B, la ley distributiva funciona:



¿Qué pasa si en vez de B ponemos la unión de una familia finita: ?
¿Y si la familia es arbitraria? .
¿Son iguales los conjuntos y ?

¿Y si se intersectan uniones de más familias, una familia de familias?
¿Qué sentido tiene la ley distributiva? ¿Sigue siendo cierta en estos casos más complejos?

_______________

En otro momento si querés podemos analizar los casos en que las familias tomadas son vacías.

[Sidarta]

Entonces esta era la respuesta.

Sin embargo, cuando pensamos en generalizar leyes distributivas a "familias" lo que estamos hablando es otra cosa.

Fijate que las leyes distributivas enunciadas en la teoría son para "un conjunto respecto otros dos".
Se puedb-nen generalizar a "m conjuntos respecto otros n", haciendo así:



(y algo análogo para intersecciones respecto uniones).

No supe interpretar la pregunta. Gracias por la pronta respuesta-

[argentinator]

He  corregido la notación de la unión en la siguiente fórmula:

[Sidarta]

Hola. Te consulto este ejercicio.


i);
ii)

i);

Sólo me limito a usar la propiedad conmutativa de la disyunción.

Sea , por definición de unión ó , lo que es equivalente a  ó y por definición de unión .

ii)
Es análogo a i)

----

No me gustó hacerlo de esa manera, utilizando la propiedad conmutativa. Hubiera querido tomar un elemento del conjunto y demostrar que satisfacía la propiedad de los elementos de . Pero cuando lo intento tengo un problema.


i);
ii)

i);

Sea , por definición de unión ó . Si  , entonces y por definición de unión .

Ves que aquí queda directa la demostración, pero cuando parto de un elemento de E, y teniendo en cuenta que sólo conozco la inclusión de conjuntos, y la existencia del conjunto vacío, tengo

Sea , por definición de unión ó . Si  , entonces y por definición de unión . Si ...

...cómo continúo? Porque hasta lo que sé, sólo lo puedo unir a otro conjunto, digamos el F ó el . Si lo uno con F, tengo que es la hipótesis, o sea que no me sirve. Si lo uno al vacío,menos que menos.

[argentinator]

Hola.

Tu procedimiento original es correcto.
Me parece que tus dudas vienen cuando intentas formalizarlo con más precisión.

Dado que este curso no comienza de forma "axiomática", hay cosas que habrá que irlas completando o aclarando a medida que se avanza.

Lo que parece que te está haciendo falta es la noción de "función proposicional".
Una expresión p(x) es una función proposicional, si p es una expresión lógica en que figura x como una variable dada.
La variable x puede reemplazarse por cualquier conjunto o cualquier elemento de un conjunto.
Para una sustitución concreta de x por un valor constante c, se obtiene una proposición lógica p(c).
En tal caso, se puede dilucidar si p(c) es verdadero o falsa.

Por ejemplo, si p(x) = "x es un número natural", entonces p(3) es verdadero mientras que p(1/2) es falso.

_______________

Lo importante de las funciones proposicionales es que la variable x sólo puede reemplazarse por constantes que son objetos matemáticos (conjuntos y elementos de conjuntos, y más generalmente relaciones y funciones).

La forma de p(x) es una expresión construida a partir de operaciones lógicas, que pueden contener cuantificadores.

Por otra parte, la proposición lógica , es una proposición que puede ser verdadera o falsa, pero no es una función proposicional, porque no depende de ninguna variable.
Pero es una proposición especial, formada por un cuantificador aplicado a una función proposicional p(x).

_________________

Ahora, tu función proposicional es .
También tendrías la función proposicional .
Interesa probar por ejemplo que .
Más aún, conviene considerar las funciones proposicionales y .

En ese caso, asumiendo que la variable x ha tomado un valor constante fijado, tenemos que p(x) es una proposición concreta, así:



__________________--

Por último, hay que usar con confianza el hecho de que se pueden usar funciones proposicionales para definir conjuntos, por comprensión, así:




lo cual quiere decir que U es el conjunto formado por los elementos x tales que p(x) es verdadera.

En ese caso, como ya probaste que , en particular vale que .

Veamos cómo se continúa desde acá:

Sea . Entonces . Entonces es verdadera.
Entonces es verdadera. Entonces .
Pero por definición, .

De esta manera, he podido razonar con la intención tuya de tomar un elemento z de y demostrar que .

____________

Fijate que he usado también, por supuesto, la conmutatividad de la disyunción "ó".
No hay otra opción que pasar por esto.

Si lo escribimos más "desenrollado", sería algo así:

1. Sea .
2. Por definición de unión, .
3. Por definición de igualdad de conjuntos, .
4. Aplicando el razonamiento en la parte 3, se deduce que .
5. Por definición de inclusión, y por el punto 1: .
6. Esto equivale a que .
7. Por conmutatividad de la disyunción "ó": .
8. Esto equivale a: .
9. Por definición de unión, .
10. Por definición de igualdad de conjuntos: .
11. Aplicando el razonamiento en la parte 10, se deduce que .
12. Por la parte 8, y por definición de inclusión: .

Ahora bien, esto lo hemos probado para un z fijo, pero arbitrario.
Cuando uno demuestra una implicación de la forma , donde , son funciones proposicionales, y donde es una variable lógica,
entonces es válido escribir la conclusión siguiente, que se llama "generalización":

.

Aplicando 1. y 12., y generalización, tenemos que:

.

Por definición de inclusión, esto equivale a que .

________________


La prueba que dí creo que es bastante detallada,
y en ese caso sos libre de recortarla o amontonar varios pasos en uno solo, etc.

Lo importante es que usando funciones proposicionales y la disyunción "ó", es posible dar una demostración formalmente correcta de que la unión de dos conjuntos es conmutativa.

Saludos

[argentinator]

Estuve pensando en tus dudas, y creo que estoy entendiendo por fin el estilo de demostración que estás buscando.

Sería algo así:

Sea .
Por definición de unión, o bien , o bien .
Si , como , entonces .
Si , como , entonces .
En cualquier caso, se obtuvo que .

La línea que marqué en color marrón es la que vos no te creés que sea cierta,
y no entiendo por qué le das vueltas, si es más o menos lo mismo que la línea inmediatamente superior de la prueba (el caso en que x está en F lo aceptás, pero el de x en E, no).

Pero en ambos casos se usa la misma propiedad: que un conjunto dado es subconjunto de la unión de él mismo con otro conjunto, no importa el orden en que se escriban los términos de la unión.
¿O es que si al conjunto E le unís el F por la izquierda ya no podés aceptar que contiene al conjunto E?
Hay algo de esto en tus dudas me parece, vale decir, que con las propiedades básicas de conjuntos no te permitís unir de esa manera dos conjuntos, y aprovechar la inclusión.

[Sidarta]

Estuve pensando en tus dudas, y creo que estoy entendiendo por fin el estilo de demostración que estás buscando.

Sólo intento aprender el lenguaje de la matemática y apenas me estoy iniciando en ello. Por eso a veces no entiendo los ejercicios o no sé si estoy escribiendo de manera correcta una sentencia.  Mucho menos hablar de estilos! Pero el mayor favor que puedes hacerme, más allá del que haces leyendo mis respuestas, es mostrarme tu forma de escribir cada caso, sin importar el estilo que te nazca en el momento. A mi cerebro le agrada más la respuesta #117, pero yo sé que la #116 es la que dará frutos más dulces. 

[Sidarta]

Los ejercicios de Munkres (algunos)
2)
a) ( (corregido el enunciado)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 Antes decía:
"2)
a) ("

Falso. Basta ver que no se cumple.
Considero los conjuntos no vacío; y conjuntos disjuntos. Entonces A no puede ser subconjunto de B y subconjunto de C puesto que ellos no tienen elementos en común.
 
b)

i)  (;
ii) 

i)  (

Sea ó . Si por definición de unión . Si , nuevamente por definición de unión . Se concluye .

ii) 

Sea . Por hipótesis todo elemento de A es elemento de , esto es, todo elemento de A lo es de B, ó, todo elemento de A lo es de C; por definición de inclusión ó . Se concluye ó .