Claro, pasa que yo en los ejercicios anteriores partía enteramente desde la hipótesis y con un poco de lógica llegaba a la tesis. Así me fuí acostumbrando y cuando llegué a esos ejercicios no me salían por que me enfocaba sólo en esa forma.
Esa manera de trabajar es muy engorrosa, sobretodo cuando los ejercicios empiezan a ser más complicados.
Recuerdo muchas demostraciones matemáticas importantes en que esa forma de trabajo es totalmente improductiva, no conduce a nada.
Aconsejo pensar en las "hipótesis" simplemente como "verdades adicionales que uno puede usar" en el momento en que uno las necesite.
Esto es importante además por otras razones: hay hipótesis que se pueden usar más de una vez, y hay hipótesis que no se usan nunca (esto pasa con ejercicios o teoremas mal enunciados).
Las herramientas que se permite usar son las de la sección de teoría que corresponde y anteriores, los ejercicios previamente demostrados, y las hipótesis del teorema que se quiere demostrar.
Conviene ponerlas a todas en pie de igualdad, en un mismo cajón de sastre.
En primer lugar
Acá está mal puesta la equivalencia lógica,
y entonces la culpa de que no llegues al resultado no es el método que usabas para encarar el ejercicio, sino que simplemente escribiste una equivalencia que es falsa.
Por un lado, es cierto que la implicación de izquierda a derecha vale,
pero la recíproca no.
Para demostrar que algo es FALSO basta exhibir un contraejemplo.Sean pues: A = {1,2,3}, B = {1, 2, 4}, C = {3, 5, 6}.
Aquí se cumple el lado derecho:
,
pero no se cumple el lado izquierdo, pues es falso que
, y también es falso que
.
__________________
Ahora discutamos la otra implicación, que es correcta, pero que has demostrado con un método algo engorroso:
En primer lugar
Hipótesis: 
Tesis: 
Y de acá queda demostrado la primera implicación.
Pienso que los pasos son incorrectos.
La traducción a símbolos lógicos de la hipótesis
es ésta:
En cambio, lo que vos escribiste:
si bien no tiene cuantificador
, uno puede interpretarlo como que estás considerando "para todo x" pasa tal o cual cosa, pero ahora lo que se interpreta es esto:
que es bastante distinto, pues el cuantificador
afecta a los dos paréntesis interiores al mismo tiempo.
Para ver dónde está la diferencia, fijate que la expresión de arriba:
en realidad también puede escribirse en forma totalmente equivalente así:
Esto ocurre por las variables
están actuando como "variables genéricas", de la misma manera que un índice
en una sumatoria o una variable de integración
en una integral.
Habría que buscar contraejemplos que muestren que las dos formas que expuse no son equivalentes, pero no tengo mucho ánimo de hacer eso por ahora.
Si no te convencés, nos ponemos a buscar esos contraejemplos.
Lo importante es que los razonamientos empleados no son correctos, porque involucran unos
cuantificadores disfrazados.
Que no hayas escrito
no quiere decir que no esté...
Sobretodo porque la definición de "inclusión" se da así, con un cuantificador:
.
____________
Moraleja: Hay que reemplazar los enunciados EXACTAMENTE por sus definiciones. No olvidar cuantificadores, si es que aparecen, porque cambian el sentido de todo lo que se está diciendo, o bien se cuelan errores imperceptiblemente.
Así que yo diría que mejor olvidar todo ese procedimiento, y empezar de nuevo.
Hay que mirar lo que dice la Tesis, y ver si se puede demostrar o no, con los hechos y herramientas disponibles.
Hipótesis: Tesis: 
Objetivo: probar la tesis.Para lograrlo, primero escribamos la tesis en su forma exacta, para evitar confusiones:
.
Para demostrar el lado derecho, lo que se hace es "tomar un x" y tratar de probar que satisface lo que está entre corchetes [...].
Primero veamos una idea general o informal del razonamiento, y después veamos cómo se puede formalizar y mecanizar:
* Tomamos un
cualquiera, y suponemos que es un elemento de
. Intentaremos demostrar que es un elemento de
.
* Por hipótesis,
ó
.
Hay dos posibilidades, según el ítem anterior.
* Si
, entonces,
.
* En particular, esto pasa para
, luego, como
, podemos concluir que
. Entonces
.
* Supongamos ahora el caso restante, a saber, que:
. Razonando igual que en el renglón de arriba obtenemos que
. Entonces
.
* En cualquier caso, de
se deduce que
.
* Como
es genérico, o sea, como lo anterior vale "para todo
", se obtiene que
.
_____________
Si la prueba anterior no te convence, se puede intentar hilar más fino en la estructura lógica de las proposiciones, y ver cómo trabajan los diversos símbolos.
Hay que tener especial cuidado en cómo se tratan los cuantificadores 
.(1) Tomemos un
cualquiera.
¿Es cierto que
implica
?
Para ello:
(2) Supongamos que el
tomado en (1) satisface:
.
(3) Por hipótesis:
.
(4) Por definición de inclusión:
.
(5) Por definición de inclusión:
.
(6) Por (3), (4) y (5) tenemos:
.
Haciendo
particularización en (6), con
,
, se obtiene que:
(7)
(7')
Ahora juntamos (6), (7) y (7') en un razonamiento que tiene la siguiente forma:
.
Te dejo como ejercicio comprobar que ese razonamiento es válido.De esto, aplicado a (6), (7) y (7') con:
se puede deducir lo siguiente:
(8)
.
(9) Por definición de unión:
.
Haciendo
particularización en (9) para
, obtenemos que:
(10)
.
Aplicando (8) y (10), obtenemos que:
(11)
.
En resumen, de (1), (2) y (11), hemos probado que:
(12)
.
(13) Como el
en (11) no tiene restricciones, podemos hacer
generalización, y obtener directamente que:
.
(14) Por (13) y por definición de inclusión:
.
______________
